https://zbmath.org/atom/cc/57K40 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.53050 2024-04-15T15:10:58.286558Z “克洛德·勒布朗” https://zbmath.org/authors/？q=ai:lebrun.claude-第页 现代黎曼几何的许多内容都涉及曲率和微分拓扑之间的关系。维度4为标量曲率和微分拓扑之间的相互作用提供了一种特殊设置。本章通过对Yamabe不变量的仔细讨论，解释了4维领域的一些特性。作者证明了一些新的结果，并提出了一些公开的问题，这些问题仍然是该主题中的关键挑战。这些开放性问题将激发黎曼几何和微分拓扑之间这一美丽界面上的新活动。整个系列见[Zbl 1516.53002]。审核人：刘西敏（大连） https://zbmath.org/1530.57025 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阿隆，格雷戈里” https://zbmath.org/authors/？q=ai:arone.gregory-z（z） “维亚切斯拉夫·克鲁什卡尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:krushkal.vyacheslav-秒 本文讨论了给定的m维CW复数（K）是否可以拓扑嵌入到（{mathbbR}^{d}）中的问题。这个问题由\textit{E.R.Van Kampen}[Abh.Math.Semin.Univ.Hamb.9，72-78（1932；JFM 58.0615.02）]研究（推广Kuratowski的平面图方法）：设\（\operatorname{Emb}（K，X）\）表示\（K\）到空间\（X\）中的拓扑嵌入空间，当\。（K）嵌入到（{mathbb R}^{d}）中意味着存在一个（Sigma{2}）-等变映射（C（K，2）到C（{mathbb R}^{d{，2）），van Kampen发现了这种映射存在的几何障碍。\textit{M.H.Freedman}等人表明，即使在（M=2）和（d=4）的情况下，该障碍物的消失也不足以实现嵌入性（参见[数学研究快报1，第2期，167--176（1994；Zbl 0847.5705）]）。在本文中，作者提出了嵌入存在的两个更高障碍序列：第一个序列从一般映射（f:K\hookrightarrow{mathbbR}^{4}）开始，其中（K）是有限维（2）维单形复形，并研究了（f）的Whitney盘，即非相邻的（2）单形（sigma{i}）和（K）中的（sigma{j}），其中（f（sigma{i}）\cdot f（simma{j}）=0）。这被推广到编码（4）流形中曲面的高阶交点的textit{Whitney tower}（参见[textit{R.Schneiderman}和textit{P.Teichner}，Doc.Math.19，941-992（2014；Zbl 1302.57057）]）。给定这样一个塔，作者生成了上同调类{西}_{n} （K）英寸（H）^{2n}_简单配置空间（C_{s}（K，n））的{\Sigma_{n}}），作为可嵌入性的连续障碍。次要障碍物的替代几何描述{西}_{3} 第2节给出了（K），第5节给出了第三个三重共线性解释。在第二种方法中，作者将（T_{n}操作符名{Emb}（K，{mathbb R}^{d}）定义为导出的自然变换集（C（K，-）到C（{mathbbR}^}，-），被认为是有限基数集（leqn）和内射映射的范畴上的函子。这里的“derived”意味着我们对源函子使用cofibrant替换，对目标函子使用fibrant替代。这产生了一个“泰勒塔”\[\cdots\to T_｛n｝\ operatorname｛Emb｝（K，｛\mathbb R｝^｛d｝）\to T_｛n-1｝\ operatorname｛Emb｝（K，｛\mathbb R｝^｛d｝）\to \cdots\to T_｛2｝\ operatorname｛Emb｝（K，｛\mathbb R｝^｛n｝）\]，类似于Goodwillie-Weiss构造（带有\（｛\mathbb I｝_｛n｝\）将微分流形的范畴替换为（{mathbb R}^{m}）副本的不相交并——参见[textit{P.Boavida de Brito}和textit{m.Weiss}，同调同伦应用15，No.2，361--383（2013；Zbl 1291.18025）]）。（注意定义7.3中“（n）”和“（d）”的混淆）。与塔中连续层相关的拉回平方产生一系列上同调类{O}（O）_{n} （K）在H^{（d-2）（n-1）+2}{\Sigma{n}}（C（K，n），{\mathbbZ}^{。作者讨论了各种方法之间的关系，并在某些情况下显示了这种联系。审核人：David Blanc（海法）