https://zbmath.org/atom/cc/53D40 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.57028 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阿尔伯斯，彼得” https://zbmath.org/authors/？q=ai:albers.peter “康正洙” https://zbmath.org/authors/？q=ai:kang.jungsoo 作者构造了一个新版本的Rabinowitz-Floer同调，用于零绕组数生成元上的闭辛流形上的负复线束{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau））。它们证明了\（\text）有一个Floer Gysin序列{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，Sigma_\tau）），他们给出了接触流形的可序性问题的应用，并计算了{RFH}_\上一篇{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau）\）显式地表示复射影空间上的负复线丛。他们还导出了完全Rabinowitz-Floer同调的短精确序列，即不受缠绕数的限制，并且在某些情况下计算了完全Rabinowitz-Flor同调。设（wp:E\rightarrow M）是一个闭的、连通的辛流形（（M，\omega））上的负复线丛，具有积分辛形式和第一Chern类（c_1^E=-M[\omega]\），其中（M\in\mathbb{N}\）。选取（E）上的厄米度量，并让（r）作为径向坐标，作者定义了圆子丛\[\Sigma_\tau:=\{e\在e\mid m\pi r^2（e）=\tau\}中，\quad\tau>0，\]当\（\τ\）的大小不相关时，它们用\（\ Sigma \）表示圆束。他们在\（\Sigma\）上选择了一个连接1-形式\（\alpha\），使得\（\wp^\ast（m\omega）=d\alpha\），其中\（\wp\）用于表示\（\wp:E\rightarrow m\）和限制\（\wp:\Sigma\rightarrow m\）。1形式\（\alpha\）是\（\Sigma\）上的一种联系形式，它自然延伸到\（E\backslash\mathcal{O} _E（_E）\)，其中\（\mathcal{O} _E（_E）\)是\（\wp:E\rightarrow M\）的零zection。复线束的总空间\（E\）具有非精确辛形式\（\Omega=\wp^\ast\Omega+d（\pi r^2\alpha）\）。本文感兴趣的主要对象是（E，Sigma_\tau）的拉比诺维茨-弗洛尔同系物的改进版本，该同系物使用[\textit{U.Frauenfelder}，Int.Math.Res.Not.2004，No.42，2179-2269（2004；Zbl 1088.53058）]中引入的过滤定义，涉及绕组数。更具体地说，它们定义了\（\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau）\），通过限制为在\（\Sigma _\tau\）上周期Reeb轨道的生成器，以及不相交的盖帽圆盘同伦类\（\mathcal{O} _E（_E）\)即绕组号为零的绕组。假设涉及切丛\（T_\ast M\）的第一个Chern类\（c_1^｛TM｝\）、实数\（\lambda \）使得\（c_1^｛TM｝=\lambda \omega \）在\（\pi_2（M）\）上，以及数\（\nu\in\mathbb{Z}（Z）_+\)因此，用（A1）、（A2）和（A3）表示的（ω（\pi_2（M））=nu\mathbb{Z}），作者证明了以下定理。假设（A1）意味着Novikov环（Lambda）同构于（mathbb{Z}），假设（A2）和（A3）意味着（Lambda\）是Laurent多项式环（mathbb{Z}[t，t^{-1}]\）。\noindent\textbf{定理1.1.}假设\（M，\omega）\）满足条件（A1）或（A2）。\开始{itemize}\零缠绕数的Rabinowitz-Floer同调\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma_\tau），\quad\ast\in\mathbb{Z}\]是定义的，并且在\（\tau>0\）的变化下是不变的。此外，它还允许迭代生成器给出的（Lambda）-模块结构，详细信息请参见备注7.6。\[（b）]存在一个长的精确序列，即（Lambda）模块的Floer-Gysin序列\[\cdots\rightarrow\text（右箭头）{RFH}_\上一篇{m} _0（0）}（E，\Sigma）向右箭头\text{跳频}_\ast（M）\stackrel{\Psi^{c_1^E}}{\longrightarrow}\text{跳频}_{\ast-2}（M）\rightarrow\text{RFH}_｛\ast-1｝^｛\mathfrak｝{m} _0（0）}（E，\Sigma）\右箭头\cdots\]其中，映射\（\Psi^{c_1^E}\）是带有\（-c_1^E\）的Floer-cap乘积。此外，这与行动过滤有关，详见7.5号提案。\项目[（c）]在（A1）或（A2）与\（\lambda\nu\leq-\frac{1}{2}\text{dim}M\）的情况下，我们有一个\（\lambda\）模同构\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）\cong H_{\ast+\frac{\text{dim}M}{2}}（\Sigma:\Lambda），\]（b）中的Floer Gysin序列恢复了束（Sigma\rightarrow M）的经典Gysin顺序，系数为（Lambda）。\第[（d）]项在本部分中，我们使用符号\（（E^m，\Sigma^m）\）表示\（E^m\）和\（Sigma|m\）的度\（m），即\（c_1^{E^m}=-m[\omega]\）。存在自然迁移和投影同态\[T： \text（文本）｛射频｝_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^m，\Sigma^m）\rightarrow\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^1，\Sigma^1），\]\[P： \text（文本）{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E^1，\Sigma^1）\rightarrow\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} 0}（E^m，\Sigma^m）\]这样，组成\（P\circ T\）和\（T\ circ P\）都与标量乘法\（m\）一致。\在本部分中，我们假设（A1）或（A3）。让\（\text{续}_0（\Sigma，\xi）是（（\Simma，\xi=\text{ker}\alpha）上的接触同态群的单位元，并让（\widetilde{\text{Cont}}_0（\Sigram，\xi））是它的普适覆盖。然后同源性\（\text｛射频｝_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma，\{\varphi_t\}）{续}_0定义了带有（\varphi_0=\text{id}）的（\Sigma，\xi），并且存在一个\（\mathbb{Z}\）-模同构\[\文本{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma，\{\varphi_t\}）\cong\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\西格玛）\]此外，如果\（\text{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）\neq 0），则（\widetilde{\text{Cont}}_0（\Sigma-xi））在[\textit{Y.Eliashberg}和\textit}L.Polterovich}，Geom.Funct.Anal.10，No.6，1448--1476（2000；Zbl 0986.53036）]和每个（\varphi\in\text）的意义上是可排序的{续}_0（\Sigma，\xi）\）在[\textit{S.Sandon}，Int.J.Math.23，No.2，Article ID 1250042，14 p.（2012；Zbl 1243.53131）]意义上有关于\（\alpha\）的翻译点。\结束{itemize}在这个定理的（e）部分，[30]指[\textit{Y.Eliashberg}和\textit}L.Polterovich}，Geom.Funct.Anal.10，No.6，1448--1476（2000；Zbl 0986.53036）]，[53]指[\textit{S.Sandon}，Int.J.Math.23，No.2，Article ID 1250042，14 p.（2012；Zbl.1243.53131）]。部分（e）的证明使用了[textit{P.Albers}和\textit{W.J.Merry}，J.辛几何16，No.6，1481--1547（2019；Zbl 1423.53106）]中的方法。作者使用他们的结果计算{RFH}_\ast^{\mathfrak{m} _0（0）}（E，\Sigma）\），当\（E \）是线束\（\mathcal{O}（O）_{mathbb{CP}^n}（-m）\rightarrow\mathbb}CP}^n），使用Fubini-Study形式\（\omega_{text{FS}}\）on \（\mathbb{CP}^n）进行规范化，使\（\omega_{text}FS}}）在复线上的积分为1。在这种情况下，\（\西格玛\）与透镜空间\（L（m，1）\）是微分同胚的。作者还研究了完整的Rabinowitz-Floer同源性{RFH}_\ast（E，\Sigma_\tau）），其中绕组编号不受限制。他们证明了Floer Gysin序列的模拟，表明它分裂成一个短的精确序列，并计算出{RFH}_\ast（\mathcal{O}（O）_{\mathbb{CP}^n}（-m），\Sigma_\tau））。评审人：David E.Hurtubise（Altoona）