https://zbmath.org/atom/cc/31E05 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.46001 2024-04-15T15:10:58.286558Z “Kigami，Jun” https://zbmath.org/authors/？q=ai:kigami.jun 从20世纪90年代后半叶开始，度量空间上的索博列夫空间的概念已经出现。书[\textit{J.Heinonen}等人，度量测度空间上的Sobolev空间。基于上梯度的方法。剑桥：剑桥大学出版社（2015；Zbl 1332.46001）]提供了关于该主题的全景视图。其中描述的Sobolev空间主要由函数和相关函数组成，在某种意义上是弱导数的推广。导数的概念要求引入类似于欧几里德环境的（p）-能量。巴洛和巴斯（例如，[textit{M.~T.Barlow}和\textit{R.~F.Bass}，Ann.Inst.Henri Poincaré，Probab.Stat.25，No.~3225--257（1989；Zbl 0691.60070）]）研究了公制背景下的布朗运动。不便之处在于，有一些度量空间不满足高斯热核估计。正在审查的这本书提供了度量空间上Sobolev空间的不同方法，通过定义Sobolev-空间，使估计在更大类的度量空间中可用，从而弥补了这一不足。起点是本书开头提到的以下事实。即，如果\（I=[0,1]\）和\[\马查尔{E} （p）^n（f）=\sum_{i=1}^{2^n}\left|f\left（\frac{i-1}{2^n}\right）-f\left\]对于W^{1，p}（I）中的（ngeq1）和\[\lim{n\to\infty}（2^{p-1}）^n\mathcal{E} （p）^n（f）到int_{0}^{1}|nabla f|^p\，dx。\标记{2}\]通过只看左边，我们得到了一种方法来讨论能量，而不必参考\（f）的导数。其思想是将点（frac{i}{2^n}）理解为节点。更准确地说，作者是通过图来近似度量空间，然后在节点处计算函数（或者说近似值）。获得图的过程是通过使用度量空间中越来越精细的划分到紧集中。给定一个这样的近似值，当且仅当相应的集合相遇时，两个节点通过边连接。这导致了度量空间的（1）版本。用（P_n f）表示（f）的近似值促使我们找到一个合适的标度常数（sigma），这样（sigma^n mathcal{E} （p）^n（P_n f）\）收敛。这就产生了索波列夫空间。在介绍之后，作者通过树详细介绍了分区及其描述。此外，我们还了解了标准假设。其中一个限制性更强，但包含所有其他限制。本书的大部分内容都是关于能量的泛化和寻找合适的常数（σ）以获得（2）的类似物。作者给出了能量及其相应的Sobolev空间的定义。获得的结果取决于参数\（p\）。对于足够大的\（p\），情况要理解得多。然而，作者也分享了已知的small\（p\）。特别地，作者证明了一个关于热核的存在性定理。既然已经奠定了基础，理论也得到了发展，在本书的后半部分，作者详细列举了许多例子，让读者对所介绍的概念有一种感觉。这本书以一种巧妙的方式结束：一个关于开放问题的部分和一个包含许多有用事实和结果的附录。审查人：Thomas Zürcher（卡托维兹）