https://zbmath.org/atom/cc/30H50 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.30053 2024-04-15T15:10:58.286558Z “雷蒙德·莫蒂尼” https://zbmath.org/authors/？q=ai:mortini.raymond “Pflug，Peter” https://zbmath.org/authors/？q=ai:pflug.peter 本文给出了具有有限多个空穴（即补的有界分量）的平面上紧集的一个特征，这些紧集是盘代数函数的象。作者还表明，通过多项式得到的闭合单位圆盘的图像通常不是多项式凸的（从抽象上说）。本文首先对拓扑工具进行了有益的讨论，包括构造一个连接局部连通集（K）的外边界的横切（J），使得（上划线{K^{circ}}=K）与（K）唯一空穴的闭合（引理2.6）。这种构造保证了\（K^{\circ}\setminus J\）是简单连接的。命题4.1给出了集合\（K:=f（\bar{\mathbb{D}}）\的必要条件，其中\（f）属于磁盘代数\（A（\bar}\mathbb{D}））。集合\（K\）必须是局部（路径）连接的连续体，以便\（K=\上划线{K^{circ}}\）和\（K^{circ}\）连接。这样的集合称为{\em可接受}。定理4.2说，如果（K）是一个容许集，那么每个互补分量的边界是一条Jordan曲线。命题5.1指出，如果（K）是可容许的多项式凸的，那么在A（上划线{mathbb{D}}）中存在（f），使得（f（上划线}）=K）。接下来，作者将注意力转向带洞的场景。定理5.3指出，如果\（K\）对单个孔是可容许的，那么\（K\）是圆盘代数函数的映象。本文的一个主要成果是定理6.4，它与具有有限多个孔的容许集是相同的。在最后一节中，作者将注意力转向多项式。证明了如果（p）是一个次数为（2）的多项式，那么（p（\bar{mathbb{D}}）没有洞（命题7.1），存在一个次为（4）的多项式（p），使得（p（\far{mathbb{D}）有唯一的洞（命题7.2），对于次数为（3）的情况也证明了类似的说法。本节以有关多项式的自然问题结束。特别地，每当多项式（p）具有次数（n \geq 2）时，（p（p（\bar{\mathbb{D}}））的最大孔数是否等于（n-2）？最后，作者讨论了紧集具有无穷多个洞的困难。{\版权所有}2023 Wiley-VCH GmbH。审查人：Michal Jasiczak（波兹南）