https://zbmath.org/atom/cc/18N25 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.18024 2024-04-15T15:10:58.286558Z “迪科佩特，提伯特·D·” https://zbmath.org/authors/？q=ai:decoppet.thibault-d日 本文研究了（紧）半单2-范畴的经典Deligne张量积的一个更高版本，称为2-指定张量积。作者证明了两个紧半单张量2-范畴的2-指定张量积也是紧半单张量2-范畴。从头到尾，让\（\Bbbk\）成为一个完美字段。第一节回顾了有关经典张量积的概念和定义。给定两个阿贝尔范畴\（\mathcal{C}\）和\（\mathcal{D}\），它们的Deligne张量积包括--如果存在--一个阿贝尔\（\mathcal{C}\boxtimes\mathcal}D}）和一个双线性函子\[\mathcal{C}\otimes\mathcal{D}\to\mathcal{C}\toxtimes\mathcal}\]在每个变量中都是正确的，这样\[\mathsf{Rex}（\mathcal{C}\boxtimes\mathcal}D}，\mathcal{E}）\simeq\mathsf{雷克斯}_2（\mathcal{C}，\mathca{D}；\mathcal{E}）：=\mathsf{Rex}\]是所有其他阿贝尔范畴（mathcal{E}）的范畴等价。可以证明有限半单（Bbbk）-线性（张量）范畴的Deligne积（mathcal{C}）和（mathcal{D}）存在，并且等价于它们的外部张量积（mathcal{C}）的（在直和和幂等元分裂下的完成）\otimes\mathcal｛D｝\）——也就是说，\（\mathcal｛C｝\otimes\mathcal｛D｝\）的对象是对，hom空间是各个hom空间的张量积。这个范畴本身是一个有限半单线性（张量）范畴。在定理3.7中，正是这种构造被提升为二维指定张量积。第2节介绍了为此所需的各种概念。将分裂幂等元推广到2类的方法有：emph{凝聚}和emph{-凝聚单子}；参见[\textit{D.Gaiotto}和\textit}T.Johnson-Freyd}，“更高类别中的缩合物”，预打印，\url{arXiv:1905.09566}]。局部柯西完备2范畴的柯西完备概念是根据[loc cit]的Karoubi包络精神构造的。研究的基础是[textit{T.D.Décoppet}，Trans.Am.Math.Soc.376，No.12，8309--8336（2023；Zbl 1525.18022）]中的半单2-范畴的概念。第三节定义了（Bbbk）-线性2范畴的完备张量积，证明了它的存在性，并证明了它与Deligne张量积的泛性质类似。这在定理3.7中达到了顶点，它证明了两个紧半单2-范畴（mathfrak{C}）和（mathbrak{D}）的2-指定张量积（mathfrak{C}\boxdot\mathfrak{D}\）存在。第4节探讨了2-指定张量积的性质——特别是，它显示了\[\马特姆{霍姆}_{\mathfrak{C}，\mathfrak{D}}（C_1\boxdot D_1，C_2\boxdot D_2）\simeq\mathrm{霍姆}_{\mathfrak{C}}（C_1，C_2）\boxtimes\mathrm{霍姆}_｛\mathfrak｛D｝｝（D_1，D_2）。\]第5节扩展了之前的结构，将单体结构包括在内。定理5.6证明了对于紧半单张量2-范畴（mathfrak{C}）和（mathbrak{D}），它们的2-指定张量积（mathfrak{C}\boxdot\mathfrak{D}\）又是一个紧半单张量2-范畴，而2-函子（\ boxdot_colon\mathfrack{C}\times\mathfrack{D}\to\mathbrak{C}\foxdot\math rak{D{）是单体的。审查人：Tony Zorman（德累斯顿）