https://zbmath.org/atom/cc/18M20 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.18024 2024-04-15T15:10:58.286558Z “迪科佩特，提伯特·D·” https://zbmath.org/authors/？q=ai:decoppet.thibault-d日 本文研究了（紧）半单2-范畴的经典Deligne张量积的一个更高版本，称为2-指定张量积。作者证明了两个紧半单张量2-范畴的2-指定张量积也是紧半单张量2-范畴。从头到尾，让\（\Bbbk\）成为一个完美字段。第一节回顾了有关经典张量积的概念和定义。给定两个阿贝尔范畴\（\mathcal{C}\）和\（\mathcal{D}\），它们的Deligne张量积包括--如果存在--一个阿贝尔\（\mathcal{C}\boxtimes\mathcal}D}）和一个双线性函子\[\mathcal{C}\otimes\mathcal{D}\to\mathcal{C}\toxtimes\mathcal}\]在每个变量中都是正确的，这样\[\mathsf{Rex}（\mathcal{C}\boxtimes\mathcal}D}，\mathcal{E}）\simeq\mathsf{雷克斯}_2（\mathcal{C}，\mathca{D}；\mathcal{E}）：=\mathsf{Rex}\]是所有其他阿贝尔范畴（mathcal{E}）的范畴等价。可以证明有限半单（Bbbk）-线性（张量）范畴的Deligne积（mathcal{C}）和（mathcal{D}）存在，并且等价于它们的外部张量积（mathcal{C}）的（在直和和幂等元分裂下的完成）\otimes\mathcal｛D｝\）——也就是说，\（\mathcal｛C｝\otimes\mathcal｛D｝\）的对象是对，hom空间是各个hom空间的张量积。这个范畴本身是一个有限半单线性（张量）范畴。在定理3.7中，正是这种构造被提升为二维指定张量积。第2节介绍了为此所需的各种概念。将分裂幂等元推广到2类的方法有：emph{凝聚}和emph{-凝聚单子}；参见[\textit{D.Gaiotto}和\textit}T.Johnson-Freyd}，“更高类别中的缩合物”，预打印，\url{arXiv:1905.09566}]。局部柯西完备2范畴的柯西完备概念是根据[loc cit]的Karoubi包络精神构造的。研究的基础是[textit{T.D.Décoppet}，Trans.Am.Math.Soc.376，No.12，8309--8336（2023；Zbl 1525.18022）]中的半单2-范畴的概念。第三节定义了（Bbbk）-线性2范畴的完备张量积，证明了它的存在性，并证明了它与Deligne张量积的泛性质类似。这在定理3.7中达到了顶点，它证明了两个紧半单2-范畴（mathfrak{C}）和（mathbrak{D}）的2-指定张量积（mathfrak{C}\boxdot\mathfrak{D}\）存在。第4节探讨了2-指定张量积的性质——特别是，它显示了\[\马特姆{霍姆}_{\mathfrak{C}，\mathfrak{D}}（C_1\boxdot D_1，C_2\boxdot D_2）\simeq\mathrm{霍姆}_{\mathfrak{C}}（C_1，C_2）\boxtimes\mathrm{霍姆}_｛\mathfrak｛D｝｝（D_1，D_2）。\]第5节扩展了之前的结构，将单体结构包括在内。定理5.6证明了对于紧半单张量2-范畴（mathfrak{C}）和（mathbrak{D}），它们的2-指定张量积（mathfrak{C}\boxdot\mathfrak{D}\）又是一个紧半单张量2-范畴，而2-函子（\ boxdot_colon\mathfrack{C}\times\mathfrack{D}\to\mathbrak{C}\foxdot\math rak{D{）是单体的。审查人：Tony Zorman（德累斯顿） https://zbmath.org/1530.18025 2024-04-15T15:10:58.286558Z “莫拉莱斯，伊比” https://zbmath.org/authors/？q=ai:morales.yiby “穆勒，莫妮卡” https://zbmath.org/authors/？q=ai:muller.monique “普拉夫尼克，朱莉娅” https://zbmath.org/authors/？q=ai:plavnik.julia-耶尔 “Ros Camacho，Ana” https://zbmath.org/authors/？q=ai:ros.ana “安吉拉·塔比里” https://zbmath.org/authors/？q=ai:tabiri.angela-安科马 “沃尔顿，切尔西” https://zbmath.org/authors/？q=ai:walton.chelsea 融合范畴理论中的一个重要问题是对（mathcal{C}）的不可分解模进行分类。这相当于将Morita类不可分解可分离代数分类在\（\mathcal｛C｝.）中，但通常我们对此知之甚少。对于我们非常了解的定点融合类别，这种分类是已知的，因为\textit{V.Ostrik}[Int.Math.Res.Not.2003，No.27，1507--1520（2003；Zbl 1044.18005）]和\textit}S.Natale}[SIGMA，对称可积几何方法应用13，论文042，9 p.（2017；Zbl.1437.18011）]很长一段时间以来（人们可以在[\textit{P.Etingoff}et al.，Tensor categories中找到这个结果。普罗维登斯，RI:美国数学学会（AMS）（2015；Zbl 1365.18001）]）。本文将这种分类推广到群理论融合范畴的情况。结果很有趣，也很重要。也许，考虑弱群理论融合范畴的设置也很有趣。审核人：刘公祥（南京） https://zbmath.org/1530.18026 2024-04-15T15:10:58.286558Z “罗马迪斯，奥尔达尼斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:romaidis.iordanis “伦克尔，英戈” https://zbmath.org/authors/？q=ai:runkel.ingo 设（mathcal{C}）是一个模融合范畴，即具有简单张量单元的有限半单带状范畴，其编织是非退化的。此类类别产生了三维拓扑量子场论[textit{N.Reshetikhin}和textit{V.G.Turaev}，《发明数学》103，第3期，547--597（1991；Zbl 0725.57007）；textit{V.G..Turaev}，结和3-流形的量子不变量。第二修订版，柏林：沃尔特·德格鲁伊特（Walter de Gruyter）（2010；Zbl 1213.57002）]因此，也可以用于曲面映射类组的（投影）表示。本文旨在建立以下主要结果（定理5.1）。定理。设\（\mathcal｛C｝\）\是特征为零的代数闭域上的模融合范畴。如果投影映射类群表示（V{g}^{mathcal{C}}）对所有（g\geq0）都是不可约的，则（mathcal}C}）中的每个简单非退化代数都是张量单位的Morita等价。与上述定理密切相关的一个结果在[textit{J.E.Andersen}和\textit{J.Fjelstad}，Lett.Math.Phys.91，No.3，215--239（2010；Zbl 1197.57030）]中建立，其中表明如果存在一个（g\geq1），使得（V_{g}^{mathcal{C}}）不可约，那么对于每个简单的非退化代数（A\），它的完整中心\（Z\左（A\右）\在\mathcal{C}\boxtimes\mathcal}C}^{\mathrm{rev}}\）中\有基础对象\[\bigoplus_{i\在i}i^{ast}\次i\]上述定理的逆命题不成立。对于\（mathcal{C}\ left（\mathrm{sl}\left（2\right），k\right）\）with\（k\）\odd，有一个唯一的这样的Morita类[\textit{V.Ostrik}，Transform.Groups 8，No.2，177--206（2003；Zbl 1044.18004）]，但是对于\（k+2\）\奇数且不是素数或素数的平方，\（V_{g=1}^{mathcal}C}\）\是可约的。论文摘要如下。\开始{itemize}\项目[\S2]回顾了如何从模融合范畴[\textit{N.Reshetikhin}和\textit{V.G.Turaev}，《发明数学》103，第3期，547--597（1991；Zbl 0725.57007）；《节点和3-流形的量子不变量》，第二修订版。柏林：Walter de Gruyter（2010；Zbl 1213.57002）]。\项目[\S 3]描述了如何从模不变对称Frobenius代数中获得映射类组不变量[\textit{J.Fjelstad}等人，理论应用分类16，342--433（2006；Zbl 1151.81038）；\textit{L.Kong}和\textit}I.Runkel}，Commun.Math.Phys.292，No.3，871--912。数学。262604--681（2014年；Zbl 1301.81254）]。\项目[\S 4]回顾了Morita代数类及其全中心之间的关系[\textit{P.Etingoff}等人，Ann.Math.（2）162，No.2，581--642（2005；Zbl 1125.16025）；\textit{L.Kong}和\textit}I.Runkel}，Adv.Math.219，No.5，1548--1576（2008；Zbl.1156.18003）]。\第[\S5]项通过将给定代数的全中心和张量单位的代数结构之间的差减为泛分次群上的对称2-余循环，从而证明了主定理，该对称2-余环必须是一个协边界。\结束{itemize}审查人：Hirokazu Nishimura（筑波） https://zbmath.org/1530.18027 2024-04-15T15:10:58.286558Z “悉达思，文卡特什” https://zbmath.org/authors/？q=ai:venkatesh.siddharth 设（k）是一个特征为（p>0）的代数闭域。Verlinde类别\（\text｛版本｝_p\)是（mathbb{Z}/p）有限维（k）表示范畴的半简化，也可以构造为倾斜范畴的半化简{SL}_2\)-模块超过\（k\）。S.Venkatesh在Verlinde范畴中发展了交换和余交换Hopf代数的范畴，并证明了Verlinde类中有限型仿射群方案的范畴等价于Verlinde类别中Harish-Chandra对的范畴。随后，他将这种等价性扩展为相应表示类别之间的等价性。审查人：Mee Seong Im（安纳波利斯） https://zbmath.org/1530.81105 2024-04-15T15:10:58.286558Z “德米特里·切尼亚克” https://zbmath.org/authors/？q=ai:chernyak.dmitry “阿扎特·M·盖努蒂诺夫” https://zbmath.org/authors/？q=ai:gainutdinov.azat-米 杰斯珀·莱克·雅各布森 https://zbmath.org/authors/？q=ai:jacobsen.jesper-莱克 “休伯特·萨勒尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:saleur.hubert网址 摘要：我们用传统的代数Bethe ansatz方法推导了Nepomechie约束下具有非对角边界项的一般开放XXZ自旋链的Bethe方程[\textit{R.I.Nepomechee}，J.Phys.A，Math.Gen.37，No.2，433-440（2004；Zbl 1050.82011）]。由于（mathsf{U}（1）对称性的破坏和参考态的缺失，技术上的困难被一种代数结构所克服，其中两个边界Tempeley-Lieb哈密顿量是在一个新的（U{mathfrak{q}}）mathfrak中实现的{sl}_2\)-边上涉及无穷维Verma模的不变自旋链[\textit{D.Chernyak}等人，J.高能物理学，2022年，第11期，论文16，65页（2022；Zbl 07657339）]。通过证明（U_{mathfrak{q}}mathfrak之间的Schur-Weyl对偶，建立了两个哈密顿量的等价性{sl}_2\)和双边界Tempeley-Lieb代数。在这个框架中，Nepomechie条件根据量子群融合规则有一个简单的代数解释。