https://zbmath.org/atom/cc/16R30 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.16022 2024-04-15T15:10:58.286558Z “加尔盖特，伊万·冈萨雷斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:gargate.ivan-冈萨雷斯 “德梅洛，蒂亚戈·卡斯蒂略” https://zbmath.org/authors/？q=ai:castilho-de-mello.thiago公司 Lvov-Kaplansky猜想指出，如果\（f（x_1，\ldots，x_m）\）是域\（K\）上自由结合代数\（K\langle x\langle\）中的一个多线性多项式，则它在\（n次n\）矩阵代数\（m_n（K）\）上的像是\（\｛0\｝\）、\（K\）、\（sl_n（K）\）或\（m_n（K）\）。这个猜想的答案只对\（m=2\）或\（n=2\）已知（在基字段\（K\）的某些限制下），对\（n=3\）和\（m=3\）有部分结果。关于这一主题的调查可以在[\textit{A.Kanel-Belov}et al.，SIGMA，Symmetry Integrability Geom.Methods Appl.16，Paper 071，61 p.（2020；Zbl 1459.16012）]中找到。Lvov-Kaplansky猜想的一个较弱版本是Mesyan猜想：如果多线性多项式（f（x_1，ldots，x_m）在（m_n（K））、（m\geq1\）、（n\geq2\）和（m\leq2n-1）上非零，则（f\）在（m（K）上的图像包含（sl_n（K））。\在本文中，作者假设（M_n（K））被赋予初等（{mathbbZ}_n）定级，该定级由矩阵单元（E_{ij}）的度（j-i）（mod）定义。但本文的方法不同于研究代数的分次及其分次多项式恒等式的常用方法。作者利用多重线性多项式的梯度和图像，得到了关于普通多项式恒等式和中心多项式的结果，并给出了Lvov-Kaplansky猜想的等价表述。\本文的第一个结果给出了多线性多项式（f（x_1，ldots，x_m））是（m_n（K））的多项式恒等式当且仅当（f）满足条件（S0）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）=0）的齐次矩阵，则\（f（a_1，\dots，a_m）=0。然后，作者考虑了多重线性多项式（f（x_1，\ldots，x_m））的下列条件：（S1）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）\not=0）的齐次矩阵，则\（f（a_1，\dots，a_m）=0）。（S2）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）=0）的齐次矩阵，则\（text{tr}（f（a_1，\dots，a_m））=0。对于（f（x_1，ldots，x_m））和（m_n（K）），本文的结果如下：\开始{itemize}\项满足（S1）和（S2）当且仅当（f）是多项式恒等式；\项满足（S1）而不满足（S2）当且仅当（f）的图像为（K）时。\当且仅当（f）的图像的线性跨度为（sl_n（K））时，项目满足（S2）而不满足（S1）。\项既不满足（S1）也不满足（S2），当且仅当图像的线性跨度为（M_n（K））时。\结束{itemize}现在，Lvov-Kaplansky猜想的等价形式是：Lvov-Kaplansky对于（M_n（K））当且仅当对于任何（M\geq 1）和任何多线性多项式（f\in K\langle x_1，\ldots，x_M\rangle）都成立，以下断言成立：\开始{itemize}\如果\（f\）不满足（S1）而满足（S2），则\（\text{Im}（f）=sl_n（K）\）。\项如果\（f\）既不满足（S1）也不满足（S2），则\（\text{Im}（f）=M_n（K）\）。\结束{itemize}类似地，如果以下断言成立，则梅西安猜想是正确的：\开始{itemize}\如果\（f\）不满足（S1），则\（\text{Im}（f）\supseteq sl_n（K）\）。\结束{itemize}作为他们方法的应用，作者对Kanel-Belov、Malev和Rowen的几个结果给出了另一种证明。审查人：Vesselin Drensky（索非亚） https://zbmath.org/1530.20053 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阿林达姆·比斯瓦斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:biswas.arindam “萨哈，Jyoti Prakash” https://zbmath.org/authors/？q=ai:saha.jyoti-普拉卡什 设（w）是（k）变量中的一个词，设（G）是一个群。动词映射（与\（w\）相关联）是\（w:G^{k}\rightarrowG\；\；（G{1}，\ldots，G{k}）\mapsto w（G{1'，\ldot，G{k}）\）。文本{M.W.利贝克}和文本{A.Shalev}[Ann.Math.（2）154，No.2，383--406（2001；Zbl 1003.20014）]表明，对于给定的非平凡单词\（W\），每个足够大的有限单群\\)是仅取决于\（w\）的正整数。在[\textit{S.Jambor}et al.，Bull.Lond.Math.Soc.45，No.5，907--910（2013；Zbl 1292.20014）]中，对于素数\（q\geq 5\），考虑了形式为\（w（x_{1}，x_{2}）=x_{1'^{2}[x_{1,x_{2]^{（q-1）/2}）的单词，并且在\（\mathrm｛PSL｝_{2} （\mathbb{F}（F）_{p^{n}}））已经建立了满足某些适当条件的素数（p）和整数（n）。这为Shalev的一个猜想提供了第一个反例（参见[\textit{T.Bandman}et al.，Groups Geom.Dyn.6，No.3，409-439（2012；Zbl 1261.14010），conjecture 8.3]），其中指出，如果一个双变量单词不是一个非平凡单词的适当幂，那么相应的单词映射是surpjective on（\mathrm{PSL}_{2} （\mathbb{F}（F）_{q} 对于所有足够大的\（q\）。受上述结果的启发，作者构建了这些类型的非投射词映射的新示例。作为一个应用程序，他们获得了\（mathbb{Q}\）和\（mathrm）的绝对Galois群上的非投射词映射{SL}_{2} （K），其中，（K）是奇数度的数字字段。审查人：Egle Bettio（威尼斯）