https://zbmath.org/atom/cc/16R 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.16022 2024-04-15T15:10:58.286558Z “加尔盖特，伊万·冈萨雷斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:gargate.ivan-冈萨雷斯 “德梅洛，蒂亚戈·卡斯蒂略” https://zbmath.org/authors/？q=ai:castilho-de-mello.thiago公司 Lvov-Kaplansky猜想指出，如果（f（x_1，ldots，x_m）是域（K\）上自由结合代数（K\ langle x\ rangle\）中的一个多线性多项式，那么它在矩阵代数（m_n（K）上的映象是（0\}）、（K\。这个猜想的答案只对\（m=2\）或\（n=2\）已知（在基字段\（K\）的某些限制下），对\（n=3\）和\（m=3\）有部分结果。关于这一主题的调查可以在[\textit{A.Kanel-Belov}et al.，SIGMA，Symmetry Integrability Geom.Methods Appl.16，Paper 071，61 p.（2020；Zbl 1459.16012）]中找到。Lvov-Kaplansky猜想的一个较弱版本是Mesyan猜想：如果多线性多项式（f（x_1，ldots，x_m）在（m_n（K））、（m\geq1\）、（n\geq2\）和（m\leq2n-1）上非零，则（f\）在（m（K）上的图像包含（sl_n（K））。\在本文中，作者假设（M_n（K））被赋予初等（{mathbbZ}_n）定级，该定级由矩阵单元（E_{ij}）的度（j-i）（mod）定义。但本文的方法不同于研究代数的分次及其分次多项式恒等式的常用方法。作者使用多线性多项式的梯度和图像来获得关于普通多项式恒等式和中心多项式的结果，并给出了Lvov-Kaplansky猜想的等价陈述。\本文的第一个结果给出了多线性多项式（f（x_1，ldots，x_m））是（m_n（K））的多项式恒等式当且仅当（f）满足条件（S0）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）=0）的齐次矩阵，则\（f（a_1，\dots，a_m）=0。然后，作者考虑了多重线性多项式（f（x_1，\ldots，x_m））的下列条件：（S1）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）\not=0）的齐次矩阵，则\（f（a_1，\dots，a_m）=0）。（S2）如果m_n（K）中的\（a_1，\ldots，a_m）是满足\（displaystyle\sum_{i=1}^m\deg（a_i）=0）的齐次矩阵，则\（text{tr}（f（a_1，\dots，a_m））=0。对于（f（x_1，ldots，x_m））和（m_n（K）），本文的结果如下：\开始{itemize}\项满足（S1）和（S2）当且仅当（f）是多项式恒等式；\项满足（S1）而不满足（S2）当且仅当（f）的图像为（K）时。\当且仅当（f）的图像的线性跨度为（sl_n（K））时，项目满足（S2）而不满足（S1）。\项既不满足（S1）也不满足（S2），当且仅当图像的线性跨度为（M_n（K））时。\结束{itemize}现在，Lvov-Kaplansky猜想的等价形式是：Lvov-Kaplansky对于（M_n（K））当且仅当对于任何（M\geq 1）和任何多线性多项式（f\in K\langle x_1，\ldots，x_M\rangle）都成立，以下断言成立：\开始{itemize}\如果\（f\）不满足（S1）而满足（S2），则\（\text{Im}（f）=sl_n（K）\）。\如果\（f）既不满足（S1）也不满足（S2），则\（\text{Im}（f）=M_n（K）\）。\结束{itemize}类似地，如果以下断言成立，则梅西安猜想是正确的：\开始{itemize}\如果\（f\）不满足（S1），则\（\text{Im}（f）\supseteq sl_n（K）\）。\结束{itemize}作为他们方法的应用，作者对Kanel-Belov、Malev和Rowen的几个结果给出了另一种证明。审查人：Vesselin Drensky（索非亚） https://zbmath.org/1530.16023 2024-04-15T15:10:58.286558Z “奥利维拉，L.M.C.” https://zbmath.org/authors/？q=ai:oliveira.l-m-c公司 “多斯桑托斯，R.B.” https://zbmath.org/authors/？q=ai:dos-桑托斯·拉斐尔·贝泽拉 “维埃拉，A.C.” https://zbmath.org/authors/？q=ai:vieira.ana-c-l|vieira.ana-cristina公司 设\（G\）是一个群，\（a\）是域\（F\）上的代数。我们说，如果（A=oplus{G\ in G}A^G\），那么（A^G\substeqA\）是（A\）的向量子空间，并且（A^gA^h\substeq A^{gh}\）是任意（G，h\ in G\）的（A^A^h\ substeqA^{gh}\），则（A）是（G\）分级的。如果我们赋予（A）一个对合（*），我们就说（A）是一个（G，*）代数，如果（A）对任何（G中的G）是分次的，并且（*（A^G）是次项A^G。利用具有多项式恒等式的代数语言，给出了各种代数（mathcal{V}），我们通过（c_n（a）：=dim_F（P_n/（P_n\cap Id（a）））}_{n\in\mathbb{n}}定义了（a\）的余维序列，其中（P_n）是阶多重线性多项式的向量空间\)是\（A\）的多项式恒等式的理想。如果存在常数（λ，t）使得（c_n（λ{V}）leq\lambdan^t），则称（λ}）具有多项式增长；我们说，如果存在一个整数（alpha），使得（c_n（mathcal{V}）geq\alpha^n）对所有人来说都是指数增长的；否则我们说，如果（mathcal{V}）具有指数增长但其任何适当的子簇，则（mathcal{V}\）几乎具有多项式增长。类似的定义可以用来定义（G，*）-代数变种的增长。在本文中，作者确实对在\（A\）是有限维且\（G\）是有限阿贝尔群的情况下几乎多项式增长的\（G，*）-代数的变体进行了分类。实现了特征为零的代数闭域上有限维单（C_p，*）-代数的分类，其中（p\）也是奇素数；这里，（C_p）表示阶循环群。审查人：Lucio Centrone（Bari） https://zbmath.org/1530.16024 2024-04-15T15:10:58.286558Z “卡拉·里佐” https://zbmath.org/authors/？q=ai:rizzo.carla 设（A\）是PI-代数。如果（A）有一个附加结构，例如，它具有对合、群分次或李代数通过导数作用于（A），那么研究考虑附加结构的多项式恒等式，而不是普通的多项式恒等式。在本文中，作者研究了李代数（L）通过导数作用于代数（a）的情况，即当（a）是（L）-代数时。测量（A）多项式恒等式复杂性的一种自然方法是根据余维序列（c_n（A）），（n=1,2，ldots）的渐近行为。在特征为0的域上的微分恒等式的情况下，如[textit{A.S.Gordienko}，J.Algebra 393，92-101（2013；Zbl 1307.16019）]所示有限维代数（A）的微分指数（displaystyle\exp^L（A）=lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{c_n^L（A）}）是一个非负整数，并给出了显式计算方法。这与[textit{A.Giambruno}中建立的普通多项式恒等式的著名结果类似和\textit{M.Zaicev}，高级数学。142，No.2，221--243（1999；Zbl 0920.16013）]。[textit{A.S.Gordienko}和\textit{M.V.Kochetov}，Algebr.Represents.Theory 17，No.2，539-563（2014；Zbl 1306.16015）]中推测，如果（dim（A）<infty），那么微分指数（exp ^ L（A））与普通指数（exp（A）重合，这对于（L）来说是确定的是有限维半单李代数。\本文的主要结果是证实了Gordienko和Kochetov对任何李代数的猜想：如果（dim（A）<infty）且域具有特征0，则（exp ^ L（A）=exp（A））。在（L）是有限维可解李代数（和（dim（a）<infty））的情况下，作者对几乎多项式增长的（L）-代数的变种进行了分类，即指数增长的变种，使得任何合适的子变种都具有多项式增长。结果表明，只有两个这样的变种，它们是由上三角矩阵的代数生成的：具有平凡作用的代数（UT_2）和代数（UT_2^{varepsilon}），其中（varepsilen）是内导子（text{ad}（e_{22}）。评审人：Vesselin Drensky（索菲亚） https://zbmath.org/1530.16026 2024-04-15T15:10:58.286558Z “塞卡特·帕尼亚” https://zbmath.org/authors/？q=ai:panja.saikat “Prasad、Sachchidan和” https://zbmath.org/authors/？q=ai:prasad.sachchidan和 给出了代数闭域（K\）上非交换变量的多项式（p（x_1，dots，x_n），其中p（mathbf{0}）=0\），研究了上三角矩阵的映象（p（T_m（K））。在这种情况下，还考虑了Waring型问题（对于此类矩阵）。作者在这一领域先前工作的基础上再接再厉，其中\textit｛A.Kanel Belov｝等人[Proc.Am.Math.Soc.140，No.2465-478（2012；Zbl 1241.16017）；Proc.Am.Math.Soc.144，No.1，7-19（2016；Zbl 1373.16039）；J.Pure Appl.Agebrage220，No.62014-2176（2016；Zbl 1341.16019）；SIGMA，对称可积几何。方法应用。16，论文071，61页（2020；Zbl 1459.16012）]。引入了一些概念以便于结果及其证明。这就是通过自然嵌入的代数链（K=T_1（K）\subseteq T_2（K）/subseteq\dots\）；多项式的阶，ord（（p）=t，如果（p\in Id（t_t（K））\set-nuse-Id（t_{t+1}（K），）。结果示例如下：命题5.3给定（K[F_n]p）假设（p（K）neq 0）。那么，\（p（T_m（K））\是\（T_m）\的Zarisk稠密子集。命题5.4 Let（p\in K[F_n]\）；如果ord（\（p\））\（=m-1\），那么\（p（T_m（K））=T_m（K）^｛（m-2）｝\）（这里\（T_m（K）^｛（T）｝\）表示\（T_m（K）\）中的矩阵集，其中\（j-i\leq T\）有ij个条目\（=0）。命题5.6如果（1<mathrm{ord}（p）=t<m-1），则（p（tm（K））substeqT_m（K）^{（t-1）}）一般具有适当的子集。此外，对于每一个（m）和（t），都存在一个（d），使得（t_m（K）^{（t-1）}）中的每个元素都可以写成（p（TM（K））中许多元素的和。审查人：Radoslav M.Dimitrić（纽约） https://zbmath.org/1530.20053 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阿林达姆·比斯瓦斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:biswas.arindam “萨哈，Jyoti Prakash” https://zbmath.org/authors/？q=ai:saha.jyoti-普拉卡什 设（w）是（k）变量中的一个词，设（G）是一个群。动词映射（与\（w\）相关联）是\（w:G^{k}\rightarrowG\；\；（G{1}，\ldots，G{k}）\mapsto w（G{1'，\ldot，G{k}）\）。文本{M.W.利贝克}和文本{A.Shalev}[Ann.Math.（2）154，No.2，383--406（2001；Zbl 1003.20014）]表明，对于给定的非平凡单词\（W\），每个足够大的有限单群\\)是仅取决于\（w\）的正整数。在[\textit{S.Jambor}et al.，Bull.Lond.Math.Soc.45，No.5，907--910（2013；Zbl 1292.20014）]中，对于素数\（q\geq 5\），考虑了形式为\（w（x_{1}，x_{2}）=x_{1'^{2}[x_{1,x_{2]^{（q-1）/2}）的单词，并且在\（\mathrm{PSL}_{2} （\mathbb{F}（F）_{p^{n}}））已经建立了满足某些适当条件的素数（p）和整数（n）。这为Shalev的一个猜想提供了第一个反例（见[\textit｛T.Bandman｝et al.，Groups Geom.Dyn.6，No.3409-439（2012；Zbl 1261.14010），猜想8.3]），该猜想指出，如果一个双变量单词不是一个非平凡单词的正幂，那么对应的单词映射在\（\mathrm）上是满射的{PSL}_{2} （\mathbb{F}（F）_{q} 对于所有足够大的\（q\）。受上述结果的启发，作者构建了这些类型的非投射词映射的新示例。作为一个应用程序，他们获得了\（mathbb{Q}\）和\（mathrm）的绝对Galois群上的非投射词映射{SL}_{2} （K），其中，（K）是奇数度的数字字段。审查人：Egle Bettio（威尼斯）