https://zbmath.org/atom/cc/16K20 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.05080 2024-04-15T15:10:58.286558Z “多尔比迪，H.R.” https://zbmath.org/authors/？q=ai:dorbidi.hamid-雷扎 “马纳维亚特，R.” https://zbmath.org/authors/？q=ai:manaviyat.raoufeh 摘要：设（R）是一个具有单位的非对易环，且（Z（R）为其中心。用\（Gamma（R）\）表示的\（R）的交换图是一个图，它的顶点是\（R\）的非中心元素，并且当且仅当\（xy=yx\）时，两个不同的顶点\（x\）和\（y\）相邻。设（F）是有限域。本文证明了如果（Gamma（R）\cong\Gamma。特别是，如果\（\Gamma（R）\cong\Gamma（M_3（F_p））\），则\（R\cong M_3。 https://zbmath.org/1530.12002 2024-04-15T15:10:58.286558Z “法国罗格朗” https://zbmath.org/authors/？q=ai:legrand.francois 由\textit{Ernst Steinitz}[J.Reine Angew.Math.137，167--309（1910；JFM 41.0445.03）]得出的一个经典结果表明，对于每个字段\（K\），都存在一个字段\（Omega \），称为\（K_）的代数闭包，满足以下条件：\开始{itemize}\项目\（K\）可以嵌入\（\Omega\）；\项\（\Omega\）是代数闭的（即，除了\（L=\Omega\）之外，没有在\（K\）上代数的域\（\Omega\substeqL\））；\一个域的任何两个代数闭包都是同构的（K-）（也就是说，同构使得子域的所有元素保持不变）。\结束{itemize}很明显，域（K）的代数闭包是数学中许多闭包之一，可以被认为是（K）更大的代数扩展，或者等价地认为是包含（K）更小的代数闭域。此外，\（K\）还有一个可分离闭包，它在\（K-\）同构上是唯一的。通常，闭包的概念通常与属性的最大或最小验证域相关联。本文（在综述中）研究了斜域（相当于除环）更一般的上下文中与域相关的闭包概念的推广。主要目标一方面是推广代数闭包和代数闭的概念，另一方面是推广可分离闭包和可分离闭的概念。为此，本文（正在审查中）的作者首先采用了以下术语：斜场的扩展（F/H）是\开始{itemize}\如果属于\（Aut（F/H）\的\（F\）的唯一内部自同构是恒等映射，则项目为outer。因此，字段的外部扩展是字段；\项Galois，如果（H）的元素是（F）的唯一元素，对于Aut（F/H）中的每一个元素都满足（σ（x）=x）；\项有限，如果\（F\）是\（H\）上的（左）有限维；\项代数如果，对于每一个（F中的x），由（H）和（x）生成的斜交子域（H（x））在（H）上具有有限（左）维数（参见[textit{N.Jacobson}，环的结构。普罗维登斯，R.I.：美国数学学会（AMS）（1956；Zbl 0073.0202）]，第166页，定义1）。\结束{itemize}首先注意到Hamilton四元数的斜场是复数域（C）的一个非平凡有限扩张，因此根据这个新定义，它是（C）上的代数，然后作者将代数闭（相对代数闭包）的概念限制为外扩张：斜场（H）如果（L=H\）对\（H\）的每个外代数扩张\（L\）都是代数闭的。同样地，如果（F）是（H）的最大外代数扩张，则斜交域（F）就是（H\）的代数闭包。然而，在中心有限斜交域（其中心的有限扩张）的上下文中，代数闭包的概念可以用代数闭斜交域来等价地定义（有关更多详细信息，请参见命题3.4）。显然，代数闭的新定义严格扩展了采用多项式方法的普通（经典）视图及其根（例如参见[\textit{T.Y.Lam}，非对易环的第一堂课。纽约：Springer（2001；Zbl 0980.16001）]）。更一般地，对于中心为（Z（H））且满足（2）leq[H:Z（H。然而，\（iii）\Rightarrow i）\）通常是错误的。作为一种特殊情况，如果\（H\）是一个字段，则\（ii）\Rightarrow i）\Leftrightarrows iii）\）始终为true，而\（i）\Right arrow ii）\）当且仅当\（H \）没有实闭子字段时才成立。通过与Steinz的结果相类比，他指出，对于每个斜场（H），对于（H）的每一个外代数（分别是代数外Galois）扩张（F），都存在一个包含（F）的（H）（分别是Galois的）代数闭包。特别地，（H）至少有一个代数（对应于Galois）闭包，但也存在具有无限多代数闭包的斜场（H），这些代数闭包是成对非（H）同构的。此外，如果\（H\）是中心有限斜交域，\（\Omega\）是\（H_）的代数（对应Galois）闭包，那么\（[\Omega：Z（\Omega）]=[H:Z（H）]\），因此\（\欧米茄\）在其中心也是有限维的。值得注意的是，术语“闭伽罗瓦”（分别是“伽罗瓦闭包”）最好用在本文件中（正在审查中），而不是“可分离闭包”（分别为“可分离闭”），它们的定义方式与代数情况中的定义方式相同，即对于斜场（H）和（H）的扩展（F）：\开始{itemize}\项[（a）]\（H\）是闭Galois，如果\（H=L\）对于\（H_）的每个代数外Galois扩张\（L\）；\项[（b）]\（F）是\（H）的一个（外，代数和）伽罗瓦闭包，如果\（F。\结束{itemize}在结束他的工作之前，作者生成了包含\（mathbb{Q}\）的斜交域，这些斜交域是闭Galois，但不是代数闭的。更准确地说，对于这样一个斜交域（H），存在（H）的有限外扩张（F），其中不存在包含（F）的（H）有限外Galois扩张。粗略地说，在非交换的环境中，会出现令人惊讶和意想不到的现象，作者得出的以下结论证实了这一点：\开始{itemize}\项存在具有几个成对非同构扩展的斜交域（H），这些扩展满足上述条件（b）；\项中有不满足条件（a）的斜字段（H），并且允许唯一（直到（H-）同构）扩展（F）满足（a）和（b），\有一个斜交域（H）至少允许一个（可能是唯一的）仅满足（b）的扩展（F），但如果（F/H）是带（[H:Z（H）]<infty）的\（H）的代数外Galois扩展，则\（F）是Galois闭包意味着\（F\）是\（H\）的Galois闭。\结束{itemize}相比之下，作者没有考虑从多项式的角度评估所得结果。此外，本文中考虑的情况（包括示例）（正在审查中）经常使用适当的四元数斜场和二次型结果，以及经常求助于分类定理（[\textit{T.Y.Lam}，非对易环的第一堂课。纽约，NY:Springer（2001；Zbl 0980.16001）]，定理16.16）。审核人：El Hassane Fliouet（Agadir） https://zbmath.org/1530.16016 2024-04-15T15:10:58.286558Z “查普曼，亚当” https://zbmath.org/authors/？q=ai:chapman.adam “McKinnie，Kelly” https://zbmath.org/authors/？q=ai:mckinnie.kelly 设（F）是一个域，（s（F））是有限维结合中心单（F）代数类，Br（F）为（F）的Brauer群，（mathbb{P}）为素数集，对于每一个（P），Br第页，共页-初级学位。可以将三个不变量附加到任何（A\ in s（F）\）上：度deg\（（A）\），即维数的正平方根\（[A\冒号F]\）；Schur指数ind（（A））（即deg（（D\sb A）），其中（D\sbA）是由Wedderburn结构定理选出的（A）的基本除法代数）；指数exp \（（A）\）定义为\（A\）等价类作为Br\（F）\）元素的顺序。如Brauer所示，exp（A）除ind（A。例如，当\（F\）是全局或局部字段时，已经找到了对ind\（（A）\），exp\（A）\colon A\ in s（F）\）的进一步一般限制；在本例中，ind\（（A）=\）exp\（（A）\），表示所有\（A\ in s（F）\）。字段的Brauer维度包含有关这些限制的基本信息。根据定义，本文中考虑的Brauer维数Brd（（F）是最小整数（m\ge 0），这样ind（（B）\）除以exp（B）\spm），其中（E）的范围在\（F）的有限域扩张类上（如果这样的\（m\）不存在，我们设置Brd（F）=\infty））。仅考虑（p\）-主指数的代数（A\ in s（E）\），对于每个（p\ in mathbb{p}），我们将最小值（m=m\sbp\）称为（F\）的Brauer维数Brd（\sbp（F）。众所周知，Brd（（F））等于Brd（\sbp（F）\colon p\in\mathbb{p}）的上确界。\作者对任意整数（ell>0）引入了Brd（\sb{p，ell}（F））的以下推广Brd（\sb（p，ell））：Brd（\ sb{p，tell}（F））被定义为最小值（m\ge0），这样对于任何（E）-代数序列（s（E）\sbp\），（j=1，\dots，\ell），存在一个常见的度分割域，其中（t）等于（F）所有有限扩张上的max（（exp（a\sb1），dots，exp（a \sb\ell））和（E）范围。很容易证明Brd（\sbp（F））等于Brd（\sb{p，1}（F）。渐近Brauer维ABrd（sbp（F））定义为（p）维Brd（sb{p，ell}（F），），（ell\in\mathbb{N}）的上确界；这将产生Brd（\sbp（F）\le\）Abrd（\sbr p（F）\）。请注意（省略细节），只要（F）是局部或全局字段，ABrd\（\sbp（F）\）和Brd\（\sbr p（F））就等于\（1）。在前一种情况下，这是由Br（F）和局部类场理论（CFT）给出的F的有限扩张的相关Brauer群的描述所隐含的；在后一种方法中，断言可以从Grunwald-Wang定理（应用于度的循环扩张）和全局CFT对Br（（F）的描述中推导出来。\本文的主要目的是证明，对于特征为（p>0）的任意t域（F\sb0），ABrd（\sbp（F\sb n）=n），其中（F\sb-n）是（n）中的迭代形式Laurent幂级数域（F\sb0（（alpha\sb1））\dots（alpha\sbn））变量或有理函数字段（F\sb0（\alpha\sb1，\dots，\alpha\sbn）），用于任何固定整数（n\ge2）。这允许选择\（F\sb0\），以便Brd \（\sbp（F\sb n）<\）ABrd \（\sb p（F\sbn）\）（请参阅下面的评审员备注，或textit{R.Aravire}和\textit{B.Jacob}[程序交响乐.纯数学.58，27-43，附录：44-49（1995；Zbl 0832.16015）]的第3节。其次，本文证明了如果（F\sb0）是一个代数闭域，（p\in\mathbb{p}），char（F\sb 0）neqp（），和（n\ge3），则ABrd（F\ssbn）=n-1），其中；在这种情况下，Brd（\sb p（F\sbn）=\lfloor n/2\rfloor）（根据[J.Pure Appl.Algebra 223，No.1，10-29（2019；Zbl 1456.16015）]中的评审论文推论~5.6），其中ABrd（\sbp（F\sbn）-）Brd（\sb p（F\ sbn）\colon n\ge 3）是一个无界的正整数序列。正如作者所指出的，对于某些（p\in\mathbb{p}），是否存在一个具有Brd（\sbp（F）<\infty）和ABrd（\sbp（F）=\infty\）的字段\（F\）的问题仍然悬而未决。\par Reviewer的评论。文献中使用的域的Brauer维数的修改定义（包括评审者的几篇论文）在调查“中心单代数上的开放问题”中引入了相同的术语（参见[\textit{A.Auel}et al.，Transform.Groups 16，No.1，219--264（2011；Zbl 1230.16016）的第4节）). 考虑到这一点，我们得到如果（n\ge2）和（F\sb0）是char（（F）=p>0）的完美域，那么：Brd（\sbp（F\sb n）=n）如果（F\sb20）的绝对Galois群的Sylow pro（p\）子群既不是平凡子群，也不是同构于（p）-adic整数的加法群（mathbb{Z}\sbp）；Brd\（\sbp（F\sbn）=n-1），否则（参见[Serdica Math.J.44，No.3--4，303--328（2018）]中评审论文的命题~3.5~（a）和（c））。整个系列见[Zbl 1518.16001]。审查人：Ivan D.Chipchakov（索非亚）