https://zbmath.org/atom/cc/16D70 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.16005 2024-04-15T15:10:58.286558Z “毛立新” https://zbmath.org/authors/？q=ai:mao.lixin 在本文中，作者回顾了笛卡尔乘积\（R\乘以M\），其自然加法和乘法由\（（R_1，M_1）（R_2，M_2）=（R_1 R_2，R_1 M_2+M_1 R_2）\给出，它成为一个环，被称为\（R\）-\（R\）-双模\（M\）对环\（R\）的平凡扩展，并用\（R\乘以M\）表示。他研究了平凡环扩张上模的纯射影性、纯内射性和（FP）-内射性。因此，他给出了（R）-模和（R时间M）-模之间的纯射影和纯内射性质的下降和上升，并建立了定理3.5，其中证明了当且仅当（T（X）是纯射影左（R时间）-模，和（Y）是纯内射左模当且仅当（H（Y）是纯内注左模。他还推导出，（R）是左自纯内射环当且仅当（R（R）为左自纯内射环当并且仅当（Z（R））为纯内射左（R（T）-模。在定理4.2中，作者证明了对于有限表示的左（R）-模（M），（[X，alpha]\）是一个（FP）-内射左（R时间M）-模当且仅当（ker（alpha）\）是（FP\(X\stackrel{\alpha}\longrightarrow\mathrm｛宏｝_ R（M，X）\stackrel{\mathrm{喇叭}_R（M，\alpha）}\longrightarrow\mathrm{喇叭}_R（M，\mathrm{喇叭}_R（M，X））\) 是准确的。在命题4.3中，他证明了，对于有限表示的左（R）-模（M），如果（M_R）是平坦的，并且（[X，\varphi]）是（FP）-内射左（R时间M）-模，那么（X）是一个（FP是一个\（FP\）-投射左\（R\）-模块。最后，作者将上述结果应用于双模同态为零的Morita上下文环，因为此类环是平凡环扩张的特例，并且证明了一些重要的结果。定理5.1，如果（X，Y，f，g）是纯射影左模（Lambda_{（0,0）}），则（mathrm{coker}（g）是纯粹射影左（a）模，（mathrm{coker{（f）是纯投射左（B）模，并且（X）是纯内射左模当且仅当{喇叭}_A（V，X），0，1）是纯内射左（Lambda{（0,0）}）-模当且仅当（（X，0，0）\）是纯内射左（Lambda{0）}-模。评审人：Manoj Kumar Patel（Dimapur） https://zbmath.org/1530.16006 2024-04-15T15:10:58.286558Z “乔治·M·伯格曼” https://zbmath.org/authors/？q=ai:bergman.george-米 作者证明了对于一个左（R）-模（M），它有两个（通常是无限的）直和分解（a\oplus（\bigoplus{i\inI}C_i）=M=B\oplus\inJ}D_j）为有限生成子模，存在有限子集（i_0\ substeqI\）、（j_0\ subteqJ\）和（\bikoplus{i \inI_0}C_i\）的直和（Y\）这样\（A\oplus Y=B\oplus（\bigoplus_{j\ in j_0}D_j）\）。文中还提出了几点启发性的意见、一些可能的概括和局限性以及一些问题。审查人：Septimiu Crivei（Cluj-Napoca）