https://zbmath.org/atom/cc/16D50 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.16004 2024-04-15T15:10:58.286558Z “优素福，阿拉戈兹” https://zbmath.org/authors/？q=ai:alagoz.yusuf “Benli-Göral，Sinem” https://zbmath.org/authors/？q=ai:benli-戈尔·西内姆 “比尤卡申科，发动机” https://zbmath.org/authors/？q=ai:buyukasik.engin 研究了单内射模的性质。特别地，证明了模（M）是单内射的当且仅当（M）min-（N）对于任意循环右模（N）是内射的。得到了右Artinian环和（QF）环的新刻画，即单内射右模是内射的且是右Artinian-环的环。右Noetherian环是右Artian环当且仅当每个循环素射右模是内射的。环是（QF）环当且仅当单内射右模是射影的。证明了在整数环上单内射、强单内射，等内射和强等内射的概念是一致的。审查人：马拉特·纳斯鲁丁诺夫（喀山） https://zbmath.org/1530.16005 2024-04-15T15:10:58.286558Z “毛立新” https://zbmath.org/authors/？q=ai:mao.lixin 本文回顾了笛卡尔积（R乘M），其自然加法和乘法由（（R_1，M_1）（R_2，M_2）=（R_1r_2，R_1m_2+M_1r_2）给出，它成为一个环，被称为环的平凡扩张，由（R）-\（R）-双模\（M）表示，用（R times M）表示。他研究了平凡环扩张上模的纯射影性、纯内射性和（FP）-内射性。因此，他给出了（R）-模和（R时间M）-模之间的纯射影和纯内射性质的下降和上升，并建立了定理3.5，其中证明了当且仅当（T（X）是纯射影左（R时间）-模，和（Y）是纯内射左模当且仅当（H（Y）是纯内注左模。他还推导出，（R）是左自纯内射环当且仅当（R（R）为左自纯内射环当并且仅当（Z（R））为纯内射左（R（T）-模。在定理4.2中，作者证明了对于有限表示的左（R）-模（M），（[X，alpha]\）是一个（FP）-内射左（R时间M）-模当且仅当（ker（alpha）\）是（FP\(X\stackrel{\alpha}\longrightarrow\mathrm{喇叭}_R（M，X）\stackrel{\mathrm{喇叭}_R（M，\alpha）}\longrightarrow\mathrm{喇叭}_R（M，\mathrm）{喇叭}_R（M，X））\) 是准确的。在命题4.3中，他证明了，对于有限存在的左\（R\）-模\（M\），如果\（M_R\）是平坦的，并且\（[X]，\varphi]\）是\（FP\）-内射左\（R\次M\）-模，那么\（X\）是\（FP\）-内射左\（R\）-模，如果\（_RM\）是投影的，并且\（Y，\psi）\）是\（FP\）-投影左\（R\次M\）-模，那么\（Y\）是一个\（FP\）-投射左\（R\）-模块。最后，作者将上述结果应用于双模同态为零的Morita上下文环，因为此类环是平凡环扩张的特例，并且证明了一些重要的结果。定理5.1，如果（X，Y，f，g）是纯射影左模（Lambda_{（0,0）}），则（mathrm{coker}（g）是纯粹射影左（a）模，（mathrm{coker{（f）是纯投射左（B）模，并且（X）是纯内射左模当且仅当{喇叭}_A（V，X），0，1）\）是纯内射左\（\Lambda_{（0,0）}\）-模当且仅当\（（X，0，0，0）\）是纯内射左\（\Lambda_{（0,0）}\）-模。审查人：Manoj Kumar Patel（Dimapur）