https://zbmath.org/atom/cc/15B36 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.90054 2024-04-15T15:10:58.286558Z “陈，林” https://zbmath.org/authors/？q=ai:chen.lin.1 “库特克，马丁” https://zbmath.org/authors/？q=ai:koutecky.martin网址 “徐磊” https://zbmath.org/authors/？q=ai:xu.lei.1 “施、伟东” https://zbmath.org/authors/？q=ai:shi.weidong 摘要：迭代增强最近已成为求解可变维整数程序（IP）的一种首要方法，与固定维整数程序的体积和平面技术形成了鲜明对比。这里我们考虑（4）-块（n）-折叠整数程序，这是迄今为止所考虑的最通用的类。A（4）-块（n）-折叠IP有一个约束矩阵，该矩阵由特定块结构中的小矩阵（A）、（B）和（D）的副本和（C）的副本组成。迭代增强方法rel（y）基于约束矩阵的所谓Graver基，它构成了一组基本的增强步骤。所有现有算法都依赖于Graver基元素的\（\ell_1\）-或\（\ll_\infty）-范数的边界。\textit{R.Hemmecke}等人[Math.Program.145，No.1--2（A），1--18（2014；Zbl 1298.90057）]表明，\（4）-block\（n）-fold IP的Graver元素最多为\（ell_\infty）-normal \（mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{2^{s_D}}）\），导致算法具有类似的运行时；这里，（s_D）是矩阵（D）和（mathcal）的行数{O}（O）_\mathrm{FPT}）隐藏了一个仅依赖于小矩阵（a）、（B）、（C）、（D）的乘法因子。然而，它们的界限是否严格，尤其是它们是否可以改进为\（\mathcal，这一点仍然悬而未决{O}（O）_\mathrm{FPT}（1）\），可能至少在某些受限的情况下。\par我们证明了\（4\）-块\（n\）-折叠IP的Graver元素的\（\ell_\infty\）-范数是\（\mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{s_D}），比上一个界限显著提高{O}（O）_\mathrm{FPT}（n^{2^{s_D}}）\）。我们还提供了一个匹配的Omega（n^{s_D}）下界，它甚至适用于任意非零格元素，排除了依赖于比Graver基更严格的增广概念的增广算法。然后我们考虑一个特殊的情况，即（4）-块（n）-折叠，其中（C）是一个零矩阵，称为（3）-块-折叠IP。我们证明了当它的Graver元素的\（ell_\infty）-范数是\（Omega（n^{s_D}）\）时，存在一个不同的格元素分解，其\（ell_ \infty\）-范量由\（mathcal{O}（O）_\mathrm{FPT}（1），它允许我们为\（3）-block\（n）-fold IP提供Graver元素的\（ell_\infty）-范数的改进上界。各分解之间的关键区别在于Graver基保证了符号兼容分解；此属性在应用程序中至关重要，因为它保证分解的每个步骤都是可行的。因此，我们改进的上界使我们能够为“（3）-块（n）-折叠IP”和“4-块IP”建立更快的算法，并且我们的下界强烈暗示了“（4）-块”和“偶数”-块“（n）-fold IP”的参数化硬度。此外，我们还证明了（3）-块（n）-折叠IP不失通用性，即通过将（3）-block（n）-fold IP作为预言机的算法，可以在FPT预言机时间内求解（4）-块-折叠IP。关于整个集合，请参见[Zbl 1445.68017]。