https://zbmath.org/atom/cc/14G12 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.11065 2024-04-15T15:10:58.286558Z “尤塞夫·拉扎尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:lazar.youssef 设（S）是包含阿基米德数的（{mathbb{Q}}）的有限赋值集。设（（f_{i，p}）_{p\在S}中）（（1\lei\ler）是（n）变量中的齐次多项式的有限族，其中（f_}i，p{）在（{mathbb{Q}}）相对于位置\（S\）的完成\（{mathbb{Q{}}_p\）中有系数。作者考虑了以下问题：给定任意实数\（\varepsilon>0），在\（{mathbb{Z}}_S^n）中是否存在一个非零的（S\）积分向量\（x\），使得每个\（S\中的p）和\（i=1，\dots，r）都存在（0<|f_{i，p}（x）|p\le\varepsilon\）？设\（S_f\）是\（S\）中有限位置的集合，因此\（S=S_f\cup\{\infty\}\）。在S}中定义\（{\mathbb{Q}}_S=\prod_{p\ Z}}_S={\mathbb{A}}_S\cap{\mathbb{Q}}\）。当\（X\）是\（｛\mathbb｛Q｝｝）上的代数变种时，将其对角嵌入到相对于\（S\）中的位置的完备的有限乘积中，会使每个\（p\ in S\）产生\（｛\mathbb｛Q｝｝｝_p\）上的仿射变种\（X_p\），多项式族\（（f_{i，p｝）\）（\（1\le i\le r \））的零集；让\（X_S\）表示\（X_p\）对\（S\中的p\）在\（S}中的prod_{p\上划线{mathbb{Q}}{p}^n\）中完成的直积。对于\（\varepsilon>0\），让\（X_S^\varepsilon\）表示\（X\ in{mathbb{Q}}_S^n\）的集合，这样\（|f_{i，p}（X）|_p\le\varepsi lon\）对于每个\（p\ in S\）和\（i=1，\dots，r\）。这是正在审查的论文的主要结果。对于s\中的每一个\（s），设\（X_s）是由\（{mathbb{Q}}_s[X_1，\dots，X_n]\）的齐次素理想\（I_s）定义的\（{mathbb{Q}_s）上的射影簇，并设\（H_s）为\不变\（I_s\）的每个生成器。设\（S_1）是\（p\ in S_f\）的集合，使得\（H_p\）在\（{\mathbb{Q}}\）上是有理的；假设\（S_1）不为空。假设存在（{mathrm{SL}}_n（{mathbb{Q}}）的有理over（{mathbb{Q{}）上的连通代数子群（H_0 \），\（X_p=X_0\）和（H_p=H_0），（3）每个（{mathbb{Q}}）-单因子在（S_1）上是各向同性的。然后，对于每个\（\varepsilon>0），我们有\（X_S^\varepsilon\cap{\mathbb{Z}}_S^n\not=\{0\}\）。作为应用，作者研究了由超平面截出的二次型定义的非退化二次曲面的交集。证明方法改编自\textit｛A.Borel｝和\textit｛G.Prasad｝的工作[Compos.Math.83，No.33447-372（1992；Zbl 0777.11008）]。它基于代数群的强逼近定理。审查人：Michel Waldschmidt（巴黎）