https://zbmath.org/atom/cc/14E18 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.14034 2024-04-15T15:10:58.286558Z “陈，辛苦” https://zbmath.org/authors/？q=ai:chen.hsin-ku（库克） 弧空间上的Nash问题[\textit{J.F.Nash jun.}，Duke Math.J.81，No.1，31-38（1995；Zbl 0880.14010）]在研究双有理几何中的奇点时，将两种方法联系起来。一种是将一个变种\（X/\mathbb｛C｝\）与其奇点的分辨率进行比较，另一种是研究其弧空间\（X_｛\infty｝\），在该弧空间上，任何闭子集都定义了\（\mathcal{O} X（_X）\). 当这个子集是\（mathrm{Sing}（X）\）上不可约分量的闭包时，我们得到一个除法估值，称为Nash估值。如果相应的除数（E）在任何（X）的分辨率中以双逻辑形式出现（即作为其开放稠密子集）某个异常分量，则这称为本质赋值。纳什定理声称，将纳什估值与（X）上的本质估值关联起来的纳什映射总是内射的，纳什问题要求它是双射的哪类变量。它已经在维度2中得到了证明[textit{J.Fernández de Bobadilla}和\textit{M.Pe Pereira}，Ann.Math.（2）176，No.3，2003-2029（2012；Zbl 1264.14049）]，但在任何更高的维度中都有反例。Toric变种形成了另一类，双射总是成立[textit{S.Ishii}和\textit{J.Kollár}，Duke Math.J.120，No.3601-620（2003；Zbl 1052.14011）]。本文研究了终端三重类型（frac{cA}{r}）的Nash估值和本质估值。它们可以被视为（a）-奇点是最简单的终端奇点的推广。这种奇点的形式是\（X=（xy-f（z，w）=0）\subset\mathbb{a}^4/\frac{1}{r}（a，-a，1，0）\），其中\（f\）对于循环作用是半不变的，并且\（a\ in \mathbb{z}\）相对\（r\）是素数。当\（r=1\）时，它成为\（cA\）奇点，即戈伦斯坦。如果\（r>1），它是最小的整数，使得\（rK_X）是Cartier，奇点不是Gorenstein。任何\（\frac｛xA｝｛r｝\）奇点都可以通过一系列加权爆炸来解决，这些爆炸导致态射\（Y\rightarrow X\），其中\（Y\）具有戈伦斯坦奇点（称为戈伦斯坦分辨率）。根据情况，奇点按以下方式解决。对于循环商奇异性，通过可行解。对于（X）（cA）型的Gorenstein奇点，通过一次加权放大，然后像第一种情况一样求解所有循环商奇点（唯一剩下的）。对于非Gorenstein（frac{cA}{r}）奇异性，我们得到一系列加权爆破。它们的组合是一个态射（W\rightarrow X），其中（W\）只具有循环商奇点或（cA\）型奇点。通过求解循环商奇点，我们得到了一个Gorenstein分解（Y\rightarrowX\），这足以研究这种分解上的例外因子。在每种情况下，计算例外除数，获得除数与纳什估值之间差异的一些条件。在这个方向上分析了Gorenstein（mathbb{Q}）-阶乘（cA\）-型和非（mathbb{Q}-阶乘终端（frac{cA}{r}）奇点。主要定理的证明是所有这些结果的关键工具。第一个定理给出了三维奇点（frac{cA}{r}）上Nash估值的显式描述，第二个定理证明了本质除数的偏差总是小于等于2。下列定理给出了（mathbb{Q}）-阶乘孤立（cA）奇异性和（mathbb{Q}-阶乘（r>1）奇异性存在非Nash本质值的充要条件。通过构造加权爆破奇异点的显式分解，描述纳什估值和本质估值的所有候选值，证明了它们的正确性。决定一个估值是否是纳什估值是基于曲线选择引理[\textit｛a.J.Reguera｝，Compos.Math.142，No.119-130（2006；Zbl 1118.14004）]，并应用de Fernex的方法[\textit｛T.de Fernex｝和\textit｛R.Docampo｝，Invent.Math.203，No.1303-331（2016；Zbl 1345.14020）]允许决定其是否为基本估价。最后一个定理给出了非（mathbb{Q}）阶乘的三维孤立奇点的期望满射性。审核人：Peter Petrov（索菲亚）