MSC 14-01中最近的zbMATH文章 https://zbmath.org/atom/cc/14-01 2024-03-13T18:33:02.981707Z Werkzeug公司 复数上的阿贝尔变换。研究生课程 https://zbmath.org/1528.14001 2024-03-13T18:33:02.981707Z “兰格,赫伯特” https://zbmath.org/authors/?q=ai:lange.herbert 回想一下,阿贝尔簇是一个复代数环面,它包含一个正的线丛,或者等价于一个射影嵌入。换言之,交换簇是射影代数簇,它也是一个代数群,被视为代数簇,是一个完全簇。本书面向数学家、物理学家、攻读数学和数学物理研究生、硕士和更高学位的学生的广泛读者。它致力于阿贝尔变种的一些理论。它介绍了阿贝尔变种,这是代数几何的一个重要主题。重点是复数上的几何构造,特别是重要的阿贝尔变种类及其代数圈的构造。演讲内容清晰、条理清晰,书的写作便于广大读者阅读。这本书适合作为阿贝尔变种第一门课程的主要课本,例如作为代数几何的第二门研究生课程。它不仅为代数几何专业的学生,而且也为相关学科(如数论、密码学、数学物理和可积系统)的学生提供了一个方便的参考。它以简明扼要、富有启发性的方式涵盖了重要材料,因此,它可以作为更高级阅读经典和当代数学这一基本领域的优秀指南,尤其是被称为代数完全可积的现代动力系统理论。通过一些例子丰富了文本。主题的多样性和丰富的练习也使其非常适合阅读课程。这本书从复杂的tori及其线束(theta函数)开始,自然引出了阿贝尔变种的定义。在建立了基本性质之后,引入并研究了交换簇的模空间。接下来的章节专门研究阿贝尔变种的主要例子:雅可比变种、阿贝尔表面、Albanese和Picard变种、Prym变种和中间雅可比变种。随后,引入Fourier-Mukai变换并将其应用于带轮的研究,得到了Chow群和Hodge猜想的结果。本文由七章组成。第一章介绍了线丛和复圆环的理论。重点是,线丛的截面可以解释为基本复向量空间上的θ函数。在第二章中,阿贝尔变种被定义为代数复环面,代数意味着复环面可以嵌入到射影空间中,甚至可以将环面定义为包含大量齐次多项式的交集。引入了阿贝尔簇的极化,研究了极化阿贝尔簇分解。最后,给出了一些特殊的结果,如简单阿贝尔簇的对偶极化、Pontryagin积和自同态代数。第三章研究带附加结构的极化阿贝尔簇的模空间。首先要注意的是,模空间的概念是以一种稍微天真的方式考虑的:具有一些附加结构的阿贝尔变种集的模空间意味着一个复解析空间,其点与该集的元素在某种自然的一一对应关系中。在许多情况下,作者证明了空间是流形或代数簇。对于这种极化阿贝尔变种,它们是由Siegel上半空间的元素给出的,这意味着同构可以由一些辛群的作用来描述。经典的θ变换公式表明,具有水平结构的模空间可以嵌入到某些射影空间中,这对大多数模空间来说都是一样的。第4章讨论雅可比变种。本章对它们的主要结果进行了证明。研究雅可比矩阵的θ因子,给出托雷利定理的证明,并利用庞加莱丛给出雅可比函数的一个普适性质。最后,给出了Matsusaka-Ran关于主极化阿贝尔簇是雅可比乘积的判据的证明。第五章是阿贝尔变种的主要例子。作者研究了其他一些特殊的阿贝尔变种。介绍了阿贝尔品种的最突出例子,即阿贝尔表面、皮卡德和阿尔巴尼斯品种、普里姆品种和中间雅各布品种。对于阿贝尔曲面,人们可以更多地谈论射影嵌入。对于每个平滑投影品种,可以将两个阿贝尔品种关联起来,即其阿尔巴尼斯品种和皮卡德品种,这两个品种都是雅可比品种的推广。对于每个光滑投影曲线的双层覆盖,人们都可以联想到它的Prym变化。最后,本章的最后一节讨论中间雅可比语。第6章专门讨论带轮和周期的傅里叶变换。更准确地说,这里研究了某些带轮的Fourier-Mukai变换以及阿贝尔簇的Chow环和上同调环上的Fourier变换。这意味着关于阿贝尔变种的Chow环的一些结果。第7章介绍了阿贝尔变种的霍奇猜想。引入了Hodge群,并在广义极化阿贝尔簇和广义雅可比算子这两种最容易的情况下证明了该猜想。在这里,作者应用了代数群和李群的一些基本事实,主要是在辛群的情况下。审查人:Ahmed Lesfari(El Jadida)