https://zbmath.org/atom/cc/11R23 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.11057 2024-04-15T15:10:58.286558Z “雷，安威什” https://zbmath.org/authors/？q=ai:ray.anwesh 设（p\）为素数。对于定义在（mathbb{Q}）上的椭圆曲线（E）和度的循环（p^n）扩张（L）在（mathbb{Q{）上，作者定义了（E）在（L）中的强丢番图稳定性，其中（L_{infty}）是分圆的（mathbb{Z} （p）\)-扩展名\（L\）。此外，如果对于任何素数的选择（1）和有限集（Sigma），（E）在无限多个（mathbb{Z}/p^n\mathbb}Z}）-扩展（L/mathbb[Q}）中是强丢番图稳定的，则（E）被称为在（p）处是强丢梵图稳定的。（丢番图稳定性的一般概念由\textit{B.Mazur}和\textit}K.Rubin}[Am.J.Math.140，No.3，571--616（2018；Zbl 1491.14036）]介绍）。作者同样使用Tate-Shafarevich群而不是Mordell-Weil群来定义（Sha）稳定性。本文的主要结果（定理6.5）对定义在（mathbb{Q}）上的椭圆曲线部分具有强丢番图稳定性和（Sha）-稳定性的问题提供了条件回答。更准确地说，让\（\mathscr{E} （p）\)是高度小于（x）且满足以下条件的椭圆曲线（E/mathbb{Q}）的同构类集：；（ii）（E[p]\）作为Galois模是不可约的；（iii）（E）在（2）和（3）处有良好的还原性；（iv）（E）在（p）下具有良好的普通还原性；（v） （E）是强不定稳定和（Sha）-稳定的。然后，估计\[\lim\inf_{x\to\infty}\dfrac{|mathscr{E} （p）（x）|}{|\{E/\mathbb{Q}\text{高度小于}x\}|}\]根据某些猜想，从下面明确给出。除了稳定性结果外，作者还证明了关于（E）秩和（Sha）阶增长的定理。审查人：Masanari Kida（托基奥） https://zbmath.org/1530.11085 2024-04-15T15:10:58.286558Z “姆拉丹·迪米特洛夫” https://zbmath.org/authors/？q=ai:dimitrov.mladen “亚历山大，马克苏德” https://zbmath.org/authors/？q=ai:maksoud.alexandre 在本文中，作者检验了textit{D.Benois}的[Contrib.Math.Compute.Sci.7,65-133（2014；Zbl 1356.11076）]\（mathscr{L}\）-不变量，重点是权重\（1）尖形式及其伴随表示。设（p\）是素数，且（rho:G_{mathbbQ}\rightarrow\mathrm{GL}（W）是有限维（上划线{mathbb）上的绝对Galois群（G_{mathbb{Q}}\）的（p\adic-Artin表示{Q} （p）}\)-向量空间\（W\）。假设\（\rho\）不包含平凡表示。如果（rho）在（p\）处未分类，那么（V:=W^{ast}（1）]给出了一个（p）-adic（L）-series（L_p（V，D，s））的推测结构，该结构内插了附于表示的Artin（L）-级数的值。Benois的“平凡零猜想”预测了在（s=0）处（L_p（V，D，s））泰勒展开式的领先项的公式。这个公式包括作为因子的（mathscr{L}）-不变（mathscr{L}（V，D））。它被定义为涉及Bloch-Kato-Selmer群的某个矩阵的行列式。这是对\textit{R.Greenberg}的[Contemp.Math.165，149--174（1994；Zbl 0838.11070）]\（\mathscr{L}\）-不变量的推广，作者还澄清了与\textit}的关系[J.Fac.Sci.，Univ.Tokyo，Sect.I a 28，979-994（1981；Zbl.0507.12010）]\（p\）-adic regulator。此外，他们计算了附加到权重（1）新形式及其伴随表示的Artin表示的（mathscr{L}）不变量。注意，所有二维奇Artin表示都是以这种方式产生的，如下所示，来自\textit｛C.Khare｝和\textit｛J.-P.Wintenberger｝[Invent.Math.178，No.3505-586（2009；Zbl 1304.11042）]关于Serre模块性猜想的工作。审核人：Andreas Nickel（慕尼黑） https://zbmath.org/1530.11086 2024-04-15T15:10:58.286558Z “Sumida-Takahashi，Hiroki” https://zbmath.org/authors/？q=ai:sumida-高桥义弘 对于任意数域（F），设（A（F））是（F）类群的（p）部分，其中（p）是一个固定的奇素数。每当\（F）是\（mathbb Q）上的交换（或更一般地说是CM域）时，群\（a（F）\分裂为直接和\（a）（F）=a。Kummer-Vandiver猜想KVC（许多作者称之为Vandiver猜想）指出，当（F）是第个分圆场（mathbb Q（zeta_p））时，（A（F）^+=0。在这种情况下，（a（F））有一个更精细的分解，作为（0\lek<p-1）的子群之和；对于（k）的所有偶数值，这个猜想等价于（A{（k）}）的消失。（A{（k）}）不为零的奇数\（k\）被称为不规则指数，它可以是正数；例如，对于最小的不规则素数\（p=37\），它是1。我们还可以定义依附于每个字符的川川不变量\（lambda（\omega^k）\）等，然后KVC等价于说\（lampda（\omega^k））、\（\mu（\omega _k））和\。由于费雷罗和华盛顿，在这种情况下，所有（mu’s）的消失是一个定理。虽然有非常合理的启发式方法表明Kummer-Vandiver猜想可能或应该是真的，但目前似乎完全无法找到证据。正在审查的文章采取了不同的立场：通过使用某些具有更广泛关注点并继续早期工作的计算，为标准启发式提供了可信度，即带有\（p<X\）的猜想的异常数量最多应为\（\log\log X\）。为此，将\（F=\mathbb Q（\zeta_p）\）替换为\（K=\mathbb Q（\sqrt{d}，\zeta_p）\。也就是说，我们现在的相关字符\（\psi=\chi^i\omega^k\）是以前的两倍，其中\（k=0,1\）和\（\chi\）是二次域\（\mathbb Q（\sqrt{d}）\）的非平凡字符；这些又有一半是平的。对于每一个（psi），我们可以通过Weierstra制备将Iwasawa不变量（lambda（psi））、（mu（psi）和（nu（psi。（费雷罗·沃辛顿（Ferrero-Washington）再次将所有（mu（psi））归零。）如果\（\psi\）是奇数，则\（g_\psi（T）\）的度为\（lambda（\psi）\）。（对于偶数\（\psi\）、\（G_\psi\\）和\（G_\psi \）连接到更大的岩川模块，即\（p\）分支模块。）作者现在假设\（\psi\）是偶数，并定义了四个依赖于\（\psi\）和隐式依赖于\（p\）的事件：（1）\（\nu（\psi）>0\）；（2） （g\psi\）的常数可被（p^2）整除；（3） 与（2）用其Kummer扭转（g^*\psi\）替换\（g_\psi\\）相同；最后，（3）（g_psi）（或等价的（g^*_psi））的度数大于1。然后，如果发生这四个事件中的一个，他会将这一对称为异常。这个定义并不新鲜，已经出现在[\textit{H.Sumida-Takahashi}，J.Number Theory 105，No.2，235--250（2004；Zbl 1048.11085）]中（见下文）。本文提出了一个猜想（Conj.~3.1），该猜想旨在渐近预测异常对、未归档甚至按四类事件排序的数量，并且本文还为这个猜想提供了非常丰富的数值证据，并用彩色图表加以可视化。在最后一节中，作者简述了基本的计算，参考了早期的计算，这些计算遵循了非常相似的目标，并在2004年至2007年的四篇早期论文中进行了描述，参考文献[\textit{H.Sumida-Takahashi}，J.Number Theory 105，No.2，235-250（2004；Zbl 1048.11085）；Exp。数学。14，第3号，307--316（2005年；Zbl 1082.11071；数学计算76，第258号，1059--1071（2007年；Zbl 1192.11076）；数学杂志。，德岛大学41，33-41（2007；Zbl 1145.11075）]。本论文的背景和风格与[11]--[14]密切相关，对计算背后的思想和方法细节的解释并不完备；人们应该回到早期的论文中，以获得更深入的理解。一个中心点似乎如下。可以通过显示某些分圆单位是适当的\（e）的\textit｛not｝\（p^e \）次幂，将类数绑定在加号部分，这可以通过局部参数来实现。相反，为了证明分圆单位实际上是一个高次幂，作者发明了一种使用高斯和的聪明方法，这已经出现在上述四篇论文的第一篇中。这种方法似乎比使用最小多项式的直接攻击更有效，这种攻击由\textit{J.S.Kraft}和\textit}R.Schoof}使用（Compos.Math.97，No.1--2135--155（1995；Zbl 0840.11043））。需要计算的对象有四个：除了分圆单位和高斯和之外，还需要广义伯努利数和岩川多项式。后者只能以适当的高幂模来确定。目前与KVC的准确链接没有详细解释，也不完全清楚。当我们将二次域\（mathbb Q（\sqrt{d}）\）切换回\（mathbb Q）时，假设Greenberg猜想，KVC认为如果没有偶数字符\（omega ^k）发生iff事件（1）。可以说得更多，请参阅阮广道评论MR2380210的第二句[\textit{H.Sumida-Takahashi}，J.Math.，Univ.Tokushima 41，33-41（2007；Zbl 1145.11075）]。——总之，应该提到的是，汇集本文中的数值结果需要多年的工作和计算机计算，其丰富性令人印象深刻。审查人：科尼利厄斯·格雷瑟（纽比伯格） https://zbmath.org/1530.57008 2024-04-15T15:10:58.286558Z “雷，安威什” https://zbmath.org/authors/？q=ai:ray.anwesh 为了研究（S^3）中一个textit{link}的Alexander多项式（即作为S^3分支覆盖的（3）-流形的分支轨迹），我们模仿了Iwasawa理论，研究了一些素数（p>2）a（p\）-adic完成式，以获得（lambda）-和（mu\）-不变量。每一个环节都来自于一些封闭的辫子，而后者更便于调查。对于（n→ge2），让（B_n）表示（n→）串的辫子群，其生成器为（sigma_i）、（1→lei→len-1）和（mathcal F_n\subset B_n→）形式的所有辫子（同位素类）的子集。重点是，对于（mathcal F_n）的辫子，可以显式地给出相应链的Alexander多项式，本文的主要结果是：对于（mathcal F_n\）的辫子，Alexander多项式是非零的，并且对于每个素数（p>2），（mu\）-不变量等于（0）。此外，（lambda）-不变量具有固定值的（mathcal F_n）元素的密度是存在的，并给出了显式表达式。论文的一半致力于展示代数拓扑学和数论之间的一些相似之处，讨论链接和辫子的背景材料，解释概念和现有结果。在第二部分中，证明了命题和引理，从而得出了主要结果（定理1.1）。审核人：Günter Lettl（格拉茨）