https://zbmath.org/atom/cc/11H 2024-04-26T21:38:41.719696Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1531.11062 2024-04-26T21:38:41.719696Z “Kim，Seungki” https://zbmath.org/authors/？q=ai:kim.seungki 设（mathcal L\subset\mathbb R^n）是格。对于整数（1）和实数（H>0），定义（P（mathcal L，d，H）为不大于（H）的行列式的本原秩（d）子格的个数。生长函数（P（mathcal L，d，H）的渐近行为已经由几位作者进行了研究，其中包括[Duke Math.J.35，327--339（1968；Zbl 0172.06304）]和[Compos.Math.88，No.2，155-186（1993；Zbl.0806.1030）]。本文对这一研究进行了进一步的综述，对这些先前的结果进行了概括和完善。具体地说，W.M.Schmidt定义了常数\[a（n，d）=\frac{1}{n}\binom{n}{d}\prod_{i=1}^d\left（\frac}V（n-i+1）}{V（i）}\cdot\frac[\zeta（i）{\zeta}，\]其中\（V（i）\）是单位球在\（mathbb R^i）和\（zeta（i）中的体积\)是Riemann zeta函数（具有约定（zeta（1）=1）），并用它们获得渐近估计（P（mathbb Z^n，d，H）=a（n，d）H^n+O（H^{n-b（n，d）}）。本文作者证明了任意格（mathcal L）的更一般的类似估计：[P+O\left（1+\ left（\frac{H}{\lambda_1（\mathcal L）^d}\ right）^{n-b（n，d）}\right），\]其中\（\lambda _1（\ mathcal L）\）是\（\mathcal L）的第一个连续最小值，\（O\）符号中的隐含常数仅取决于\（n\）。作者还提出了他的定理的一个更技术性的改进版本，以及它的变体，用于计数不一定是原始子格，以及计数对低维交点有一定限制的子格（在Thunder的先前结果中）。在他的主要定理的应用中，作者再次本着Thunder先前工作的精神，获得了格拉斯曼人和旗品种上有界高度的有理点个数的计数估计。作者证明方法中的一个新元素是“向下”方法：将所有（d）维子格投影到超平面，并计算每个光纤的基数。该方法导出了关于低维投影格的（P（mathcal L，d，H））的一个归纳公式，涉及到某种积分变换。然后，大部分工作将用于估计这个积分变换。审查人：Lenny Fukshansky（克莱蒙特） https://zbmath.org/1531.11063 2024-04-26T21:38:41.719696Z “贝特曼，劳伦特” https://zbmath.org/authors/？q=ai:betermin.laurent “马库斯·福克伯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:faulhuber.markus（网址：https://zbmath.org/authors/？q=ai:faulhuber.markus） θ函数和球面堆积问题之间有着密切的联系。只有很少的维度可以完全解决球体填充问题。\textit{H.Cohn}和\textit{A.Kumar}[J.Am.Math.Soc.20，No.1，99--148（2007；Zbl 1198.5209）]研究了多流形上点配置的普适最优性问题。对于（mathbb{R}^{d}），这个问题与球形填充问题密切相关，但比球形填充问题困难得多，并由维度（d=1）的\textit{H.Cohn}和\textit}A.Kumar解决了这个问题。问题尚未解决的维度8之前的唯一维度是维度2和维度4。在维度2中，六角形晶格是解决普适最优性问题的候选者（参见[textit{H.Cohn}和\textit{A.Kumar}，J.Am.Math.Soc.20，No.1，99-148（2007；Zbl 1198.5209）]）。由于\textit｛H.L.Montgomery｝[Glasg.Math.J.30，No.1，75-85（1988；Zbl 0639.10017）]的工作，已知晶格中六边形晶格的普遍最优性。在本工作中，研究了两类二维格θ函数，它们是伴随着\textit{H.L.Montgomery}[Glasg.Math.J.30，No.1，75-85（1988；Zbl 0639.10017）]研究的θ函数族。这些函数族被称为中心和交替格θ函数，定义为所有函数（α>0），并分别用θ表示^{c}_{\Lambda}（\alpha）\）和\（\theta^{\pm}_{\Lambeda}。这些格θ函数（θ{c}）和（θ}{pm}）也可以分别被视为经典雅可比函数（theta{2}）与（theta_{4}）的推广。这种概括也可以应用到更高的维度。本文关于θ的主要结果^{c}_{\Lambda}（alpha）和（theta^{\pm}{\Lambeda}）与蒙哥马利的主要结果类似，但相反。作为一个直接的结果，在二维交变电荷晶格和以单元胞中心为转移的晶格中，得到了六角晶格的一个新的普适优化结果。审查人：Ranjeet Sehmi（昌迪加尔） https://zbmath.org/1531.42022 2024-04-26T21:38:41.719696Z “杰曼，皮埃尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:germain.pierre “莱丁·迈尔森，西蒙·L。” https://zbmath.org/authors/？q=ai:rydin-迈尔森·西门-1 小结：我们研究了一般环面（包括一般矩形环面）上拉普拉斯算子在薄球壳上的谱投影范数。我们提出了一个猜想并进行了部分证明，改进了以往关于任意环面的结果。 https://zbmath.org/1531.68165 2024-04-26T21:38:41.719696Z “莱奥·多卡斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:ducas.leo “拉霍温，提斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:laarhoven.thijs “范·沃尔登，韦塞尔·P·J。” https://zbmath.org/authors/？q=ai:van-沃登·韦塞尔（woerden.wessel-p-j） 总结：根据最近使用近似Voronoi细胞通过预处理（CVPP）解决最近向量问题的工作，我们通过以下方式改进了以前的结果：\开始{itemize}\第[--]项通过将算法的行为建模为目标向量的陪集上的随机行走，我们导出了随机切片器成功概率的急剧渐近界。因此，我们解决了\textit｛E.Doulgerakis｝等人[Lect.Notes Comput.Sci.11505，3-22（2019；Zbl 1447.94033）]和\textit｛T.Laarhoven｝[J.Math.Cryptol.15，60-71（2021；Zbl 1470.11191）]留下的悬而未决的问题。\第[--]项我们对CVPP及其推广（严格地说，在某些情况下）进行了更好的权衡，无论是否进行最近邻搜索，这都是上述成功概率上限的直接结果。\项目[--]我们展示了如何使用类似于textit{A.Becker}等人提出的思想来减少切片器的内存需求，特别是相应的最近邻数据结构。[``使用次二次最近邻搜索加速格筛而不增加内存'，预打印，\url{https://ia.cr/2015/522})]. 使用内存，我们可以在（2^{0.264d+o（d）}）时间内求解单个CVPP实例。\项目[--]当我们为同一个晶格提供足够大的CVPP问题实例时，我们进一步改进了某些记忆区域中的持久时间复杂性。使用\（2^｛0.208d+o（d）｝\）内存，对于大小至少为\（2^｛0.058d+o（d）｝\）的批次，我们可以在\（2^｛0.234d+o（d）｝\）摊销时间内启发式求解CVPP实例。\结束{itemize}我们用于分析复杂逐步算法中任意步转移概率的随机游走模型可能具有独立的意义，既可以通过凸性参数导出解析界，也可以使用最短路径算法数值计算最优路径。另一个结果是，我们将相同的随机行走模型应用于基于图形的最近邻搜索，通过推导相应贪婪搜索过程的成功概率的尖锐界限，改进了\textit{T.Laarhoven}[LIPIcs--Leibniz Int.Proc.Inform.99，Article 57，14 p.（2018；Zbl 1489.68365）]的结果。整个系列见[Zbl 1481.94004]。 https://zbmath.org/1531.94054 2024-04-26T21:38:41.719696Z “乔尔·加特纳” https://zbmath.org/authors/？q=ai:gartner.joel 小结：Regev的一个著名简化表明，错误学习（LWE）问题的随机实例在渐近上至少与最坏情况下的格问题一样困难。因此，通过假设标准格问题很难解决，基于LWE问题的密码系统的渐近安全性得到了保证。然而，尚不清楚这种减少在多大程度上（如果有的话）为当前具体参数化的安全性提供了支持。因此，在这项工作中，我们使用Regev的约简对密码系统进行参数化，从而提供了一个参考，说明从该约简中实际声明安全性需要哪些参数。这要求我们考虑这种简化的具体性能，允许仅基于标准格问题的保守硬度估计证明安全的密码系统的第一个参数化。尽管我们试图优化简化，但我们的系统仍然需要比典型的基于LWE的密码系统大得多的参数，这突出了实际使用的参数与实际适用最坏情况简化的参数之间的巨大差距。整个系列见[Zbl 1529.94003]。