https://zbmath.org/atom/cc/11D45 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.11019 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阿克沙特·穆加尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:mudgal.akhat 设（s\geq 3）是一个自然数，（psi（x））是具有实数系数和次数的多项式，（d\geq 2）是实数的有限非空子集。在本文中，作者估计了方程组的解的数量\[\sum{i=1}^{s}（\psi（x_i）-\psi（x_{i+s}））=\sum{i=1}^{s}（x_i-x{i+s}）=0，\]其中，每个\（1 \ leq i \ leq 2s \）的\（x_i \ in A \）。让（E_{s，2}（A））是A^{2s}中的（2s\）元组（（x_1，\dots，x_2s}）的个数，从而使（x_1，\dotes，x_2s}）满足上述系统，他证明了（E_{s，2{（A{s}=（1/4-1/7246）\cdot 2^{-s+4}\）用于\（s\geq 4\）。作为一个简单的应用程序，他认为情况（psi（x）=x^2）将到达二次Vinogradov系统\[\sum_{i=1}^{s}（x_i^2-y_i^2）=\sum_{i=1}^{s}（x-y_i）=0，\]其中，表示\（J_｛s，2｝（A）\）为其解的个数，他从上述近似中推导出\（J_｛s，2｝（A）\ll_｛s｝|A|^｛2s-3+\eta_｛s｝｝\），其中\（\eta_s\）的值相似。作者将量\（E_{s，2}（A）\）作为曲线上有限点集\（y=psi（x）\）的（s）-折叠加性能量，即\（E_{s，2}（A）\）计算方程\（x_1+\dots+x_s=x{s+1}+\dotes+x{2s}\）的解的个数，使得变量\（x_，dots，x{2s}\）位于集合\（mathscr{A}=\{（a，\psi（a））\|\a\in a\}\）。因此，他引入了与sumset相关的概念，通过\[s\mathscr{A}=\{\mathbf{a} _1个+\点+\mathbf{一}_{s} \|\\mathbf{a} _1个，\点，\mathbf{一}_{s} \in\mathscr{A}\}，\]和\[s\mathscr{A}-t\mathscr{A}=\{\mathbf{a} _1个+\点+\mathbf{一}_{s} -\mathbf{一}_{s+1}-\点-\mathbf{一}_{s+t}\|\\mathbf{a} _1个，\点，\mathbf{一}_{s+t}\in\mathscr{A}\}。\]因此，作者证明了如果\（A\）是实数的有限非空子集，那么\（|2\mathscr{A}-2\mathscr}A}|\gg_{d}|A|^{3-2/11}（\log|A|）^{-18/11}\）。此外，让\（s\geq3）是一个自然数，然后\（|s\mathscr{a}-s\mathscr}a}|\gg_{d，s}|a|^{3-\delta\cdot4^{-s+3}}（\log|a|）^{-C\cdot4 ^{-s+3}}\），其中\（\delta=（1-4c）/23\）和\（C=1/7246\）和（C=36/23\）。作为另一个推论，让由（phi（N）=（N，psi（N））定义的（phi:mathbb{N}到mathbb}Z}^2），作者证明了如果（N）是一个大的自然数，并且{a} _j（_j）{j=1}^{N}）是复数序列。然后，\[\int_{[0,1）^{2}}|\sum_{j=1}^{N}\mathfrak{a} _j（_j）e（φ（j）\cdot\mathbf{\alpha}）|^{2s}d\mathbf}\alpha{1\ll_{d，s}（\log N）^{2s-q_{s}}\bigg（\sum_{j=1}^{N}|\mathfrak{a} _j（_j）|^{2s/q{s}}\bigg）^{q{s{}}，\]其中，\（q{3}=7/2）和\（q_{s}=2s-3+（1/4-1/7246）\cdot 2^{-s+4}\）wherewhere\（s\geq4\）。最后，提供了一些进一步的结果，作者证明了\（E_｛s，2｝（A）\ll_｛\mathcal｛C｝｝|A|^｛2s-3+2^｛-s+2｝｝｝），\（E_｛s，3｝（A）\ll_｛\mathcal｛C｝｝|A|^｛3s-6+2^｛-s+3｝｝｝\log|A|\），和\（E_｛4,2｝（A）\ll_｛\mathcal｛C｝｝|A|^｛5+1/4-C｝），其中\（C=1/7246\），其中常数\（\mathcal｛C｝\）满足某些特定条件。此外，他还证明了\（|2\mathscr{A}-2\mathscr}A}|\gg_{mathcal{C}|A|^{3-2/11}（\log|A|）^{-18/11}\）和\（|3\mathscr{A}-3\mathscr{A}|\ gg_{mathcal{C}}|A| ^{3-1/23}（\ log|A|A）^{-36/23}\）。审查人：Mehdi Hassani（Zanjan） https://zbmath.org/1530.11033 2024-04-15T15:10:58.286558Z “迈克尔·伯苏斯基” https://zbmath.org/authors/？q=ai:bersudsky.michael “乌里·夏皮拉” https://zbmath.org/authors/？q=ai:shapira.uri 摘要：我们计算了\（\mathrm的统计数据{SL}_d（{mathbb{Z}}）矩阵位于（mathrm）上定义的整数多项式的水平集上{SL}_d（{mathbb{R}}），这是Linnik证明的关于从大球体到单位球体的径向投影积分向量均匀分布的著名定理的一个变体。利用上述结果，我们从各个方面推广了阿卡、艾因西德勒和夏皮拉的工作。例如，我们计算了位于水平集（-（x_1^2+x_2^2+x_3^2）+x_4^2=N）上的本原积分向量的剩余类模（q）和正规正交格的联合分布，其中规范化正交格位于\（{mathbb{R}}^4）的秩-3离散子群模空间的子流形中。 https://zbmath.org/1530.11035 2024-04-15T15:10:58.286558Z “乐茂华” https://zbmath.org/authors/？q=ai:le.maohua “斯泰尔，罗伯特” https://zbmath.org/authors/？q=ai:styer.robert-艾伦 摘要：设$a，b，c$是$\min\{a，b、c}>1$的固定互质正整数。设$N（a，b，c）$表示方程$ax+by=cz$的正整数解$（x，y，z）$的个数。我们证明了如果$（a，b，c）$是一个三重不同素数，其中$N（a，b，c）>1$和$（a、b，c$b\equiv 1\bmod 12$，$c\equiv 5\bmod 12$，其中$（a，b，c）$满足进一步的严格限制。这些结果支持了\textit{R.Scott}和\textit}R.Styer}[Publ.Math.Debr.88，No.1--2131-138（2016；Zbl 1374.11057）]提出的猜想。