https://zbmath.org/atom/cc/11D41 2024-04-15T15:10:58.286558Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1530.11034 2024-04-15T15:10:58.286558Z “达斯，普拉纳贝什” https://zbmath.org/authors/？q=ai:das.pranabesh “Laishram，Shanta” https://zbmath.org/authors/？q=ai:laishram.shanta “新泽西州萨拉达” https://zbmath.org/authors/？q=ai:saradha.n “夏尔玛，迪维姆” https://zbmath.org/authors/？q=ai:sharma.divyum 本文讨论这个方程\[（x+1）\cdot（x+i-1）（x+i+1）\cd ots（x+k）=y^\ell，\qquad\qquad\\mbox{（*）}\]其中，\（k，i\）是带\（4\lek\le8\），\（1\lei\lek\）的整数\（\ell\）是一个素数，并且\（x，y\ in \mathbb{Q}\）。在对有关上述等式和类似等式（起点是Erdős-Selfridge等式（（x+1）（x+2）\cdots（x+k）=y^\ell）以及（k，\ell\ge2）和（x，y\）正整数的结果进行彻底调查后，作者陈述了他们的主要结果，其中第一个结果用于证明第二个结果：\textbf{定理1}.\：如果（4\lek\le8）和方程（*）有一个带素数的有理解（（x，y），则（gcd（k-1，ell）>1）。\textbf{定理2}.\：如果\（4\lek\le8\），\（1\lei\lek\），（\ell\）是素数并且\（k，\ell，i）\（4,3,2），（7,3,4）\），那么没有满足（*）的有理\（x，y\），除非\开始{itemize}\项目[1.]\（（k，\ell，i）=（7,2,2），（7,2,6）\），在这种情况下，唯一的非平凡有理解是\[（x，y）=\左（-\压裂{37}{7}，\pm\压裂{720}{7^3}\右）\：，\；\左（-\frac{19}{7}，\pm\frac}{720}{7^3}\右），\]分别是。\项目[2.]\（（k，\ell，i）=（5，2，2），（5，2,4）\）在这种情况下，存在对应于椭圆曲线的非平凡有理点的无穷多解\（F:y^2=x^3+8x^2+12x\）。\结束{itemize}上述定理的证明很长很复杂，但很清楚。证明的基本工具是九个引理，其中七个引理取自文献，两个引理由作者证明。其中六个涉及广义Fermat方程，一个来自1951年Selmer的一篇论文，另两个由M.~Bennett提出，涉及（（M+s）（M+2s）\cdots（M+ks）=by^ell）和（（M++）（M+2s）（M+4s）（M+5s）=by|ell）的整数解。为了应用它们，作者为参数\（k，\ ell\）区分了13种情况。在最后阶段，他们还需要应用MAGMA实施的Chabauty方法。评审员：Nikos Tzanakis（伊拉克） https://zbmath.org/1530.14045 2024-04-15T15:10:58.286558Z “阮玄透” https://zbmath.org/authors/？q=ai:nguyen.xuan-托奥 小结：我们给出了一个正确的证明，即曲线上的所有有理点\[y^2=（x^2+1）（x^2+3）（x^2+7）\]是\（\pm\infty\）和\（（\pm 1，\，\pm 8）\）。这纠正了\textit{H.Cohen}【数论II：分析和现代工具】和\textit}S.Duquesne}【Calculs effectives des points entiers et rationnels sur les courbes.155 p.（2001）；J.Théor。Nombres Bordx.15，No.1，99-113（2003；Zbl 1097.11014）】之前的著作。