https://zbmath.org/atom/cc/11A55 2024-04-26T21:38:41.719696Z Werkzeug公司 https://zbmath.org/1531.11010 2024-04-26T21:38:41.719696Z “加伦，菲利普” https://zbmath.org/authors/？q=ai:gawron.filip “科布斯，托马斯” https://zbmath.org/authors/？q=ai:kobos.tomasz 设（α）为二次无理数，（D（α）是其连续分式展开式的周期部分的长度。那么，对于任何不是完美平方的整数（d），都存在无穷多个偶数整数（k\geq1），使得对于无穷多个整数（n\geq 1），（d（n\sqrt{d}）=k\）。审查人：安东·舒托夫（弗拉基米尔） https://zbmath.org/1531.11011 2024-04-26T21:38:41.719696Z “库尔特·吉斯特梅尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:girstmair.kurt（英语：girstmair.kurt） 设（v）和（q）为正整数，（v）不是平方。作者研究了数字（x=m/q+sqrt{v}，）之间的等价性，其中，（m\）是一个整数，（（m，q）=1。如果（x\）和（y\）的连分式可以用相同的句点书写，那么两个数字（x）和（y）将是等价的。本文证明了以下定理。\textbf{定理1.}设\（x=m/q+\sqrt{v}，y=n/q+\squrt{v{，（m，q）=（n，q）=1.\）设\（q_1=（m-n，q）.\）那么，（x\simy）当且仅当方程（r^2-c^2v=\pm1）有一个解（（r，c）in \mathbb{Z}^2），使得（（c，q^2）=qq_1\textbf{定理2.}设\（q_0）为\（q）的最小除数，从而得到方程\（r^2-c^2v=\pm 1）的解\（r，c）\，其中\（c，q^2）=qq_0。那么数字\（x=m/q+\sqrt{v}，（m，q）=1，0\leqm\leqq-1\）正好属于\（\varphi（q_0）\）等价类，每个等价类都包含\（\ varphi。文中给出了示例。审核人：Mykhaylo Pahirya（Uzhhorod） https://zbmath.org/1531.11012 2024-04-26T21:38:41.719696Z “伊布拉金·特柳斯坦格洛夫（Ibragim A.Tlyustangelov）” https://zbmath.org/authors/？q=ai：tlyustangelov.ibragim-阿斯兰诺维奇|tlyustangelov.ibragim-a 连分数的推广之一是克莱因对连分数的几何解释。设（mathcal{C}（l_1，dots，l_n）是由一维子空间（l_1,dots，l_n）的所有可能症状所跨越的锥集。凸壳（mathcal{K（C）}=\text{conv}（mathcal{C}\cap\mathbb{Z}^n\backslash\{0}）及其边界（partial（mathcali{K（C）}））分别称为对应于锥的克莱恩多面体和克莱恩帆。众所周知，（n-1）维连分式是并的\[\mathrm{CF}（l_1，\dots，l_n）=\bigcup_{C\in\mathcal{C}（l _1，\ dots，l _n）}\partial（\mathcal{K（C）}）\]与锥体（mathcal{C}）相对应的所有克莱因帆。代数连分式的对称群定义为集合{符号}_{\mathbb{Z}}（\mathrm{CF}（A））=\{G\in\mathrm{GL}_n（\mathbb{Z}）\，|\，G（\mathrm{CF}（A））=\mathrm{CF}（A）\}.\）让\（\mathfrak{U}（U）_{n-1}是所有（n-1）维代数连分式的集合。证明了以下定理。\textbf{定理1.}对于每个整数（n>1）1，存在一个具有适当循环回文对称性的（n-1）维连分式（mathrm{CF}（A））。\textbf{定理2.}设（mathrm{CF}（l_1，l_2，l_3，l_4）{U} _3个，并让子空间（l1）由（（1，alpha，beta，gamma）生成还让\（K=\mathbb{Q}（\alpha，\beta，\gamma）那么，（mathrm{CF}（l_1，l_2，l_3，l_4）具有适当的循环对称性当且仅当（K）是由嵌入σ生成的Galois群的4次循环Galois扩张，并且存在4次代数数（K中的ω），从而至少满足以下条件之一：1） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\omega“”）：\mathrm{Tr}（\omega）=\omega+\omega'+\omega''+\omega'''=0；\）2） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\omega“”）：\mathrm{Tr}（\omega）=\omega+\omega'+\omega''+\omega'''=1；\）3） \（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\omega，\omega'，\omega'）：\mathrm｛Tr｝（\omega）=\omega+\omega'+\omega'=2；\）4） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\frac{\omega+\omega'}{2}）：\mathrm{Tr}（\omega）=\ omega+\ omega'+\omega'''=0；\）5） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\frac{\omega+\omega'}{2}）：\mathrm{Tr}（\omega）=\ omega+\ omega'+\omega''+\ omega''=2；\）6） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\frac{\omega+\omega''+1}{2}）：\mathrm{Tr}（\omega）=\ omega+\ omega'+\omega''=0；\）7） \（（1，\alpha，\beta，\gamma）\sim（1，\ omega，\omega'，\frac{\omega+\omega''+1}{2}）：\mathrm{Tr}（\omega）=\ omega+\ omega'+\omega''+\ omega''=2；\）其中\（\omega'=\西格玛（\omega），\omega''=\西格玛^2（\omega），\omega'''=\西格玛^3（\omega）。\）审核人：Mykhaylo Pahirya（Uzhhorod） https://zbmath.org/1531.11041 2024-04-26T21:38:41.719696Z “黛米尔，比拉尔” https://zbmath.org/authors/？q=ai:demir.bilal （无摘要）