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马科托·伊诺基佐诺;达须雅·霍里古奇;长冈、高弘;秋叶忠也

正则幂零Hessenberg簇的上同调环的加性基础。 （英语） Zbl 1530.14085号

转换。组 28，第2期，695-732（2023年）.
设（G）是一个半单线性代数群。修正（G）的Borel子群（B）。设（mathfrak{g}）和（mathfrak{b}）分别表示（g）和（b）的李代数。（mathfrak{g}）中的Hessenberg空间是一个（mathfrak{b}）-子模（H\subseteq\mathfrack{g}\），因此（mathflak{b{\subsetaqH）。设\（I\）是正根系统上自然偏序集结构的一个较低理想。这里，\（\Phi\）是由三元组\（G，B，T\）确定的根系统，其中\（T\）是包含在\（B\）中的最大环面。不难看出，Hessenberg空间和（Phi^+）的下理想之间存在一对一的对应关系，所以我们用（H（I））来代替Hessenbeg空间。对于\（X\in\mathfrak{g}\）和下理想\（I\subseteq\Phi^+\），相关的Hessenberg变种是如下定义的旗变种的闭子集：\开始{align*}\mathrm{Hess}（X，I）：=\{gB\在G/B\mid\mathrm{Ad}（G^{-1}）（X）\在H（I）\}中。\结束{align*}这篇写得很好的文章的主要焦点是Hessenberg变种\（mathrm{Hess}（X，I）\），其中\（X\）是\（mathfrak{g}\）的正则幂零元素。这意味着伴随轨道的维数达到了最大可能值。在这种情况下，海森堡簇被称为正则幂零。
设\（\alpha\）为正根，视为\（T\）的字符。它在\（G/B\）上定义了一个线束，用\（L_\alpha\）表示。Borel的一个著名结果是，（G/B）的上同调环是由这些线丛的Chern类生成的。最近，它在[T.阿贝等，J.Reine Angew。数学。764, 241–286 (2020;Zbl 1510.14033号)]这些Chern类对正则幂零Hessenberg簇（X，I）的限制也产生了（X，I）（实数系数）的上同调。在这种情况下，本文的第一个主要定理如下。
{定理1.}设（mathrm{Hess}（N，h））是秩为（N）的类型（mathrm{a，B，C，G}）的正则幂零Hessenberg簇。我们为每个（i=1，dots，N）在集合（i+1，i+2，dotes，h（i）}）上固定了一个置换（w^{（i）。那么下面的方程上同调类\[\prod_{i=1}^n\alpha_{i，w^{（i）}（h（i））}\cdot\alpha{i，w^{〔i〕}（h（i）-1\]与\（0\leqm_i\leqh（i）-i\）一起，构成了\（\mathbb{R}\）上的上同调\（h^*（\mathrm{Hess}（N，h））的加法基础。这里，我们采用约定\（\alpha_{i，w^{（i）}（h（i））}\cdot\alpha_a{i，w（i）{}（h（i）-1）}\cdots\alpha_}i，w ^{。（T1）中的\（\alpha_{i，j}\）表示正根。
对于类型\（\mathrm{D}\），作者给出了以下结果。
{定理2.}设（mathrm{Hess}（N，h）为秩为（N）的（mathrm{D}）型正则幂零Hessenberg簇。然后，下面的上同调类\开始{align*}\prod_{i=1}^n\alpha_{i，w^{（i）}（h（i））}^{，\结束{align*}与\（0\leqm_i\leqh（i）-i\）一起，构成了\（\mathbb{R}\）上的上同调\（h^*（\mathrm{Hess}（N，h））的加法基础。这里，我们采用约定\（\alpha_{i，w^{（i）}（h（i））}^{。
作者在（H^*（\mathrm{Hess}（N，H））中发现了低维正则幂零Hessenberg变种类的Poincaré对偶的一个有趣事实。本文的第三个主要结果如下。
{定理3.}设（mathrm{Hess}（N，h）为正则幂零Hessenberg型簇{A} _n（n）\)，\（\mathrm{B} _n（n）\)，\（\mathrm）{C} _n（n）\)，\（\mathrm{D} _n（n）\)，\（\mathrm{E} _6个\)，\（\mathrm{F} _4个\)，\（\mathrm{G} _2\). 然后，Poincaréduals的h^*（[mathrm{Hess}（N，h'））中的集合（[[mathrm{Hess{Hessneneneep（N，h））是线性无关的。
审核人：坎·马希尔·比伦（新奥尔良）

引用于1文件

MSC公司：

14月15日 格拉斯曼流形、舒伯特流形、旗流形

关键词：

正则幂零Hessenberg簇;上同调

引文：

Zbl 1510.14033号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{M.Enokizono}等人，《变换》。第28组，编号2695-732（2023；Zbl 1530.14085）
全文： 内政部 arXiv公司

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