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非局部非线性扩散方程。平滑效应、格林函数和函数不等式。 (英语) Zbl 1509.35073号

在这篇非常有趣且冗长的论文中,作者建立了形式为的广义多孔介质方程解的有界估计\[\partial_tu+(-\mathcal{L})(u^m)=0\]在\(mathbb{R}^N\次(0,T)\)中,其中\(m\geq1\)和\(-\mathcal{L}\)是线性、对称和非负运算符。作者证明了关于精确平滑效果和绝对界的定量估计,其证明是基于问题的对偶形式与(-\mathcal{L})和(I-\mathcal{L}\)的格林函数估计之间的相互作用。在线性情况下(m=1),众所周知,(L^1-L^)-平滑效应等价于Nash不等式。作者在非线性设置(m>1)中证明了这一结果。
相反的含义通常是不正确的。0阶Lévy算子给出了一个反例。但是,当(m>1)时,作者表明非线性允许更好的正则化性质,几乎与线性算子无关。最后,他们证明了Gagliardo-Nirenberg-Sobolev型不等式族,并通过应用Moser迭代研究了线性和非线性环境中的等价性。

MSC公司:

35B45码 PDE背景下的先验估计
35千55 非线性抛物方程
35K08型 加热内核
35K15型 二阶抛物方程的初值问题
35K65型 退化抛物方程
35A01级 偏微分方程的存在性问题:全局存在、局部存在、不存在
35卢比 积分-部分微分方程
35兰特 分数阶偏微分方程
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