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马丁的最大值(^{+})暗示了伍丁的公理((*))。 (英语) Zbl 1496.03203号

在本文中,作者提供了两个相互竞争的强最大值原理之间的深层联系:马丁最大值原理和伍丁最大值原理,表明前者的加强意味着后者。
马丁最大值是一个强制公理,它是在[M.工头等,《数学年鉴》。(2) 127,第1期,1-47页(1988年;Zbl 0645.03028号)]. 它指出,对于每一个保持(\aleph_1)子集平稳性的强制概念(\mathbb{P}),以及许多稠密开集的集合(\aleph _1),都有一个过滤器(g\subsetq\mathbb{P}\),这样(对于所有D\in\mathcal{D},g\cap D\neq\emptyset)。公理(mathrm{MM}^{+})是对(mathrm{MM})的加强,其中我们还要求滤波器实现(\aleph_1)作为平稳集的平稳子集的多个名称。
伍丁公理((*))是确定性公理在(L(mathbb{R})中成立的陈述,对于强制(mathbb{P}(P)_{\max}\),这样\(P(\omega_1)\substeq L(\mathbb{R})[g]\)。强制\(\mathbb{P}(P)_{max}\)和公理((*)\)首次出现于[W.H.伍丁确定性公理、强制公理和非平稳理想。柏林:Walter de Gruyter(1999;兹比尔0954.03046)]. 在这本书中,Woodin还得出了\((*)\)的许多结果。强制\(\mathbb{P}(P)_{max}\)是同质的,因此在\(L(\mathbb{R})[g]\)中的每个语句都是由平凡条件强制的,因此等价于\(L。特别是,一旦存在大基数,在((*)下的(H(\omega_2))理论就不能通过集合强制改变。
本文通过证明(MM^{++})隐含((*)来解决这两个原则之间的紧张关系。因为\(MM^{+\omega}\)并不意味着\((*)\),如所示P.B.拉尔森【Ann.Pure Appl.Logic 156,No.1,110–122(2008;Zbl 1153.03035号)]这个结果是最佳的。
让我给出一些有关证明的细节。在一些温和的条件下,每个集合(A\subseteq\omega_1)都对应于一个滤波器{P}(P)_{max}\),它由所有条件组成{P}(P)_{max}),其中有一个长度为(omega_1)的泛型迭代到模型(langle M_{omega_1},NS_{omega _1}\cap M_{omega_1}和a\rangle)。为了证明这个过滤器是通用的,我们必须为每个稠密开集(D\)找到一个条件(D\cap g_a\中的q\)。
证明中的主要引理表明,存在一个保持(omega_1)的平稳子集的强制(mathbb{P}),并添加了一个{P}(P)_{\max}\)-条件\(D\中的p\),以及它的通用迭代见证\(g_a\中的p)。使用\(MM^{++}\),可以为这种强制找到一个足够通用的过滤器,并构造条件\(p\)。
强制(mathbb{P})的条件是关于(mathbb)的有限信息(由扩展语言中的句子给出){P}(P)_{max})-条件,它的一般迭代,(D)的描述,以及确保平稳集保持的(H(ω_3)的子模型。这种强制可以看作是强制的改进版本B.克拉维尔R.辛德勒用于制造(u_2=\omega_2)[J.Symb.Log.74,No.1,187-200(2009;Zbl 1163.03026号)].
为了使有限的句子集合成为条件,它必须是证实通过\(\mathrm{Col}(\omega,\omega_2)\)在泛型扩展中的实际迭代。此断言验证泛型对象是否行为良好。使用稠密开集(D\)的通用Baire表示来表明,即使每个句子的有限集合对应一个不同的证书,泛型对象也将位于\(D \)中。
这篇论文写得很好,作者花费了大量精力来传达论文结构和结果背后的直觉。

MSC公司:

03E57型 一般绝对性和强制公理
03E55型 大型红衣主教
03E50型 连续统假设与马丁公理
03E60年 确定性原则
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