马雷克·卡卢巴；Dawid Kielak公司；彼得·诺瓦克 在属性（T）上为\（\operatorname{Aut}（F_n）\）和\（\mathrm{SL}_n（\mathbb{Z}）\）。 （英语） Zbl 1483.22006年 安。数学。（2） 193，第2期，539-562（2021）. 在20世纪60年代，D.A.卡日丹【功能分析应用1，63–65（1967；Zbl 0168.27602号); 来自Funkts的翻译。分析。普里洛日。1，No.1，71–74（1967）]引入了财产（T）的原始定义。这是以一种代表性的理论方式表述的。Kazhdan证明了具有性质（T）的局部紧群是紧生成的。此外，他还证明了局部紧群（G）中的格（Gamma）具有性质（T）的当且仅当它具有性质（G）。现在，已知群具有属性（T）有几个等价条件。迄今为止，许多作者都在积极研究属性（T），并取得了辉煌的进展。今天，性质（T）的研究包括数学中的各种研究领域，例如群论、表示论、微分几何、群上同调理论、几何群理论、图论、遍历理论等B.贝卡等。[卡日丹的财产。剑桥：剑桥大学出版社（2008；兹比尔1146.22009)].设（F_n）是秩为（n）的自由群，（operatorname{Aut}F_n。在这篇具有里程碑意义的论文中，作者证明了\（operatorname{Aut}F_n\）对\（n\geq 6 \）具有属性（T）。历史上，Dehn和Nielsen于1910年代开始研究自由群的自同构群从低维拓扑的观点来看。特别是，尼尔森对其进行了第一次有限的介绍。在过去的一个世纪里，许多作者对自由群的自同构群进行了多方面的研究，并将其与曲面的映射类群、辫子群、整数上的一般线性群等重要群进行了比较。对于整数上的特殊线性群，众所周知，由于Kazhdan，（mathrm{SL}（n，mathbbZ）是（mathrm{SL}（n，MathbbR））中的一个格，它具有（T）的性质，这是因为（mathrm-SL}。另一方面，这一事实也由Y.沙洛姆[数学出版社，高等科学研究院，90，145-168（1999；Zbl 0980.22017号)]他利用有界生成的概念给出了\（\mathrm｛SL｝（n，\mathbb Z）\）的显式Kazhdan常数。群\（operatorname{Aut}F_n\）通常与一般线性群\（mathrm{GL}（n，mathbb Z）\）比较通过由（F_n）的阿贝尔化诱导的自然满射（\rho:\operatorname{Aut}F_n\rightarrow\mathrm{GL}（n，\mathbb Z））。组\（operatorname{Aut}F_2）没有属性（T），因为\（operatorname{Aut}F_2\）从没有属性（T）的\（\mathrm{GL}（2，\mathbb Z）\）上求根。对于\（n=3\），\（operatorname{Aut}F_3\）不具有属性（T）的事实是从J.McCool公司[《数学程序》，坎伯·菲洛斯Soc.106，No.2，207–213（1989；Zbl 0733.20031号)]、和F.格鲁内瓦尔德和A.卢博茨基【地理功能分析18，第5期，1564–1608（2009；Zbl 1175.20028号)]. 对于\（n=4\），问题仍然存在。M.卡卢巴等【《数学年鉴》375，第3-4期，1169-1191（2019年；Zbl 1494.22004年)]表明\（operatorname{Aut}F_5\）具有属性（T）。结合前面的结果和本文的主要结果，我们看到（operatorname{Aut}F_n）对（n_ge5）具有属性（T）。在本文中，作者采用了以下属性（T）的定义，因为N.小泽一郎[J.Inst.Math.Jussieu 15，No.1，85-90（2016；Zbl 1336.22008年)]. 设（G）是具有有限对称生成集（S）的群。在（G\）的实群代数\（\mathbb R[G]\）中，元素\[\Delta:=|S|-\sum_{S\在S}中S=\frac{1}{2}\sum_}S\在S中}（1-S）^*（1-S被称为\（G\）相对于\（S\）的拉普拉斯算子，其中映射\（*:\mathbb R[G]\rightarrow\mathbb R[G]\）由\（G\mapsto G^｛-1｝\）对任何\（G\中的G）诱导。如果存在（lambda>0）和有限多个元素（\xi_i\in\mathbb R[G]\），则称群\（G\）具有属性（T），从而\[\Delta^2-\lambda\Delta=\sum_i\xi_i^*\xi_i.\]设\（\mathrm{SAut}\，F_n\）是\（\rho\）的\（\mathrm{SL}（n，\mathbbZ）\）的前像。它被称为\（F_n\）的特殊自同构群，在\（operatorname{Aut}F_n\。它有一个有限的表示，其生成器都是尼尔森变换，因为S.M.Gersten先生[J.Pure Appl.代数33，269–279（1984；Zbl 0542.20021号)].本文对所有Nielsen变换的集（G=mathrm{SAut}，F_n）和（S）给出了Kazhdan常数的显式估计，并证明了Kazhda半径至多为2。通过使用它，作者证明了（mathrm{SAut}，F_n）对（ngeq6）具有属性（T）。作为推论，可以看到\（operatorname{Aut}F_n\）和外部自同构群\（mathrm{Out}，F_n\。作者的技术可以应用于\（G=\mathrm｛SL｝（n，\mathbb Z）\）和\（S\）是\（n\geq3\）的所有初等矩阵的集合的情况。这意味着作者为以下事实提供了新的证据：\（\mathrm{SL}（n，\mathbb Z）\）具有\（n\geq 3\）的属性（T）。作者的这部优秀作品将在自由群的自同构群的研究史上占有一席之地。审核人：佐藤高雄（东京） 引用于1审查引用于11文件 MSC公司： 22D55型 Kazhdan性质（T）、Haagerup性质和推广 20层28 群的自同构群 关键词：Kazhdan的财产（T）；自由群的自同构群；光谱间隙；卡日丹常数 引文：Zbl 0168.27602号；Zbl 1146.22009年；Zbl 0980.22017号；兹比尔0733.20031；Zbl 1175.20028号；Zbl 1336.22008年；Zbl 0542.20021号；Zbl 1494.22004年 软件：间隙；见鬼去吧；尼莫；SCS公司；朱莉娅；JuMP公司 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{M.Kaluba}等人，《数学年鉴》。（2） 193，第2号，539--562（2021；Zbl 1483.22006） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] 巴赫茅斯，S。；Mochizuki，H.Y.，｛（｛\rm-Aut｝（G）\）｝，｛\（G\）｝的非有限生成，秩｛\（3\）｝，反式。阿默尔。数学。美国数学学会学报，270693-700（1982）·Zbl 0482.20025号 ·doi:10.2307/1999870 [2] 西摩·巴赫茅斯；Mochizuki，Horace Y.，{\（{\rm Aut}（F）到{\rm-Aut}（F/F''）}是秩{\（geq 4\）}的自由群{\（F\）}.的上射。阿默尔。数学。美国数学学会学报，29281-101（1985）·Zbl 0575.20031号 ·doi:10.2307/200171 [3] 巴希尔·贝卡；皮埃尔·德拉哈普（Pierre de la Harpe）；瓦莱特，阿兰，卡日丹的性质（{T}），新数学。单体。，11，xiv+472页（2008年）·Zbl 1146.22009年 ·doi:10.1017/CBO9780511542749 [4] 杰夫·贝赞森（Jeff Bezanson）；艾伦·爱德曼（Alan Edelman）；斯特凡·卡宾斯基（Stefan Karpinski）；Shah，Viral B.，Julia:数值计算的新方法，SIAM Rev..SIAM Review，59，65-98（2017）·Zbl 1356.68030号 ·数字对象标识代码：10.1137/141000671 [5] O.波哥波尔斯基。；Vikentiev，R.，{\（{\rm Aut}（F_n）\）}中小指数的子群{K} 阿兹丹的属性（{T}）。组合几何群理论，趋势数学。，1-17 (2010) ·Zbl 1206.20043号 ·doi:10.1007/978-3-7643-9911-5_1 [6] Breuillard，Emmanuel，Expander图，属性{\（tau）\）}和近似群。几何群论，IAS/公园城市数学。序列号。，21, 325-377 (2014) ·Zbl 1440.20010号 ·doi:10.1090/pcms/021/10 [7] 马丁·布里德森。；Vogtmann，Karen，自由群的自同构群，表面群和自由阿贝尔群。关于映射类组和相关主题的问题，Proc。交响乐。纯数学。，74, 301-316 (2006) ·兹比尔118034 ·doi:10.1090/pspum/074/2264548 [8] Frank Celler；查尔斯·格林（Charles R.Leedham-Green）。；斯科特·默里（Scott H.Murray）。；艾丽斯·尼迈耶（Alice C.Niemeyer）。；O'Brien，E.A.，《有限群的随机元生成》，《通信代数》。代数通信，234931-4948（1995）·Zbl 0836.20094 ·doi:10.1080/00927879508825509 [9] 邓宁，伊恩；乔伊，哈切特；Lubin，Miles，Ju｛MP｝：数学优化的建模语言，SIAM Rev.SIAM Review，59295-320（2017）·Zbl 1368.90002号 ·doi:10.1137/15M1020575 [10] 菲克，克劳斯；威廉·哈特（William Hart）；汤米·霍夫曼；约翰逊、弗雷德里克、尼莫/{H} 埃克：计算机代数和数论软件包{J} 乌利亚编程语言。我{SSAC}'17-{P} 继续喂食2017年｛ACM｝{一} 国际性的 {S} 花序上的{S} 符号化的和{A} 代数的 {C} 计算, 157-164 (2017) ·Zbl 1457.68325号 ·doi:10.1145/3087604.3087611 [11] David Fisher，{（{\rm Out}（F_n））}和谱间隙猜想，国际数学。Res.不。。国际数学研究通告，26028-9（2006）·Zbl 1113.22007年 ·doi:10.1155/IMRN/2006/26028 [12] 藤原浩二；Kabaya，Yuichi，计算机{K} 阿兹丹半定编程常数，Exp.Math。。实验数学，28301-312（2019）·兹比尔1420.22007 ·doi:10.1080/10586458.2017.1396509 [13] 罗伯特·吉尔曼，自由群自同构群的有限商，加拿大数学杂志。。加拿大数学杂志。加拿大数学杂志{e} 日用品, 29, 541-551 (1977) ·Zbl 0332.20010 ·doi:10.4153/CJM-1977-056-3 [14] Fritz Grunewald；Lubotzky，Alexander，自由群的自同构群的线性表示，Geom。功能。分析。。几何和功能分析，18，1564-1608（2009）·Zbl 1175.20028号 ·doi:10.1007/s00039-009-0702-2 [15] 马雷克·卡卢巴；Kielak博士。；Nowak，P.W.，{\（\operatorname的近似平方和分解{调整}_5+k\cdot\operatorname{操作}_5-\lambda\Delta_5\在I\operatorname{SAut}（F_5）\）}中（2020）·doi:10.5281/zenodo.1958996 [16] 马雷克·卡卢巴；Nowak，Piotr W.，《验证光谱间隙的数值估计》，群复合体。加密。。分组。复杂性。密码学，10，33-41（2018）·Zbl 1394.22008年 ·doi:10.1515/gcc-2018-0004 [17] 马雷克·卡卢巴；Piotr W.诺瓦克。；Ozawa，N.，关于{五十} 阿普拉斯{\（\operatorname{SAut}（\mathbb）上的运算符{F} 5个)\)} (2017) ·doi:10.5281/zenodo.1913734 [18] 马雷克·卡卢巴；Piotr W.诺瓦克。；Ozawa，Narutaka，{\（{\rm Aut}（\Bbb F_5）\）}具有属性{\（T）\）{，数学。Ann..Mathematische Annalen，3751169-1191（2019）·Zbl 1494.22004年 ·doi:10.1007/s00208-019-01874-9 [19] Kassabov，Martin，{\（{\rm SL}_n（{\Bbb Z}）}的Kazhdan常数，国际。代数计算J。。国际代数与计算杂志，15，971-995（2005）·Zbl 1097.22007年 ·doi:10.1142/S0218196705002712 [20] 亚历山大·卢博茨基（Alexander Lubotzky）；Pak、Igor、产品替换算法和{K} 阿兹丹的属性（{T}），J.Amer。数学。美国数学学会杂志，14347-363（2001）·Zbl 0980.20078号 ·doi:10.1090/S0894-0347-00-00356-8 [21] James McCool，{\（{\rm Out}\，F_3\）}的忠实多项式表示，数学。程序。剑桥菲洛斯。剑桥哲学学会数学学报，106207-213（1989）·兹比尔0733.20031 ·doi:10.1017/S0305004100078026 [22] 蒂姆·内泽尔（Tim Netzer）；Thom，Andreas，Kazhdan的半定优化性质（{T}），Exp.Math。。实验数学，24371-374（2015）·Zbl 1391.16031号 ·doi:10.1080/10586458.2014.999149 [23] 布伦丹·奥多诺休；朱，埃里克；Neal Parikh；Boyd，Stephen，通过算子分裂和齐次自对偶嵌入的二次曲线优化，J.Optim。理论应用。。优化理论与应用杂志，1691042-1068（2016）·Zbl 1342.90136号 ·doi:10.1007/s10957-016-0892-3 [24] Ozawa，Narutaka，非交换实代数几何{K} 阿兹丹的属性（{T}），J.Inst.Math。尤西厄。朱西厄数学研究所学报。JIMJ公司。《数学研究所杂志》{e} 日用品de Jussieu，15，85-90（2016）·Zbl 1336.22008年 ·doi:10.1017/S147474801400309 [25] Shalom、Yehuda、Bounded generation和{K} 阿兹丹的属性（{T}），Inst.Hautes{E} 瑞斯科学。出版物。数学。。高级研究院{E} 瑞斯科学。数学出版物{e} 日用品, 145-168 (1999) ·Zbl 0980.22017号 [26] \relax{The{GAP G}group}，GAP–Group，algorithms，and programming，版本4.7.8（2015） 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。