大卫·哈维;乔里斯·范德霍温 时间中的整数乘法（O（n\log n））。 （英语） Zbl 1480.11162号 安。数学。(2) 193，编号2，563-617（2021）. 本文的主要结果是一个整数乘法算法，以通常的二进制形式表示，其复杂性在确定性多带图灵模型中进行了分析。让（mathrm{M}（n））表示乘两个（n）位整数所需的时间，对于正实数（x），让（log^{*}x）表示最小非负整数（k）这样\（\log（\ldots\log x）\le 1）（\（k\）迭代）。1971年，Schönhage和Strassen推测复杂性由（mathrm{M}（n）=Theta（n\log{}n）给出，并建立了上限。后来，弗勒改进了这一结果在本文之前，乘法两位整数所需的位运算数的最佳上界是由同一作者建立的（mathrm{M}（n）=mathcal{O}（n\log{}n，4^{log^{*}n）。在所审查的论文中，作者改进了这一界限。本文的定理1.1断言，两个位整数的乘法可以通过（mathcal{O}（n\log{}n）位操作实现，即\（\mathrm{M}（n）=\mathcal{O}（n\log{}n）），它验证了Schönhage和Strassen猜想中的上界，并解决了（4^{log^{*}n}）间隙。该界是通过本文第4节中详细开发的一种称为“高斯重采样”的新技术获得的。该技术基于一种特殊的约简过程，其关键成分是一种构造，可以将整数乘法问题简化为计算复数的多维离散傅里叶变换集合的问题，复数的维数都是2的幂，随后通过快速多项式变换对这些变换进行评估。快速多项式变换源于观察到某些多元多项式环中存在有效的乘法算法。即，设\（r）是2的幂，对于\（d \ge 2）考虑环\[R[x_1，\ldots，x_{d-1}]/（x_1^｛t_1｝-1，\ldot，x_{d-1}^{t_{d-1{}-1），\qquad R:=\mathbb{C}[y]/（y^R+1），\tag{\（\ast\）}\]其中，所有\（i\）的\（t_i\mid 2r\）。这个环中的乘法可以通过使用FFT在合成的单位根（y^{2r/ti}的幂）处计算每个（x_i），然后在（R\）中逐点乘法，然后应用逆FFT来实现。作者已经证明整数乘法问题可以传输到（*）类型的环。假设\（s_1，\ldots，s_d\approx（n\log{}n）^{1/d}\）是不同的素数，其中\（d\ge2）是维数参数。使用Schönhage和Strassen算法，作者将两个位整数的乘法简化为环（mathbb{Z}[x]/（x^{s_1\cdots_d}-1）中的乘法，并且自\（\mathbb{Z}[x]/（x^{s_1\cdots_d}-1）\）同构于\（\tathbb{Z}[x_1，\ldots，x_d]/（x1^{s1}-1，\ldots，x_d^{sd}-1)由中国剩余定理导出的乘法问题相当于计算环（mathbb{Z}[x_1，\ldots，x_d]/（x_1）中的乘积^{s1}-1，\ldot，x_d^{sd}-1) \).在高斯重采样技术中，作者选择素数（s_1，ldots，s_d）的方式是，每一个（s_i）都略小于2的幂（t_i）和（t1\cdots t_d=mathcal{O}（s_1\cdotss_d）。基于约简过程，作者证明了计算复杂多维离散傅里叶变换的问题\（s_1\times\cdots\times s_d），即关于复数（s_i）-单位根，精确到（mathcal{O}（n\log{}n））可以简化为计算大小为（t1\times\ cdots\ times t_d）的复多维离散傅里叶变换的问题。尽管作者简要讨论了结果的一些改进和推广，但得出的算法具有理论意义，而不是实际意义，并牢记实际应用。本文的主要结果也适用于布尔电路模型。这篇论文技术性很强，有很多深刻而复杂的结构。然而，尽管它的技术性，论文写得很清楚，是一个很好的阅读，感谢对想法的详细解释。审核人：Armen Bagdasaryan（科威特马德纳特） 引用于2评论引用于31文件 MSC公司： 2016年11月 数字理论算法；复杂性 2007年7月68日 计算机体系结构的数学问题 68瓦30 符号计算和代数计算 65T50型 离散和快速傅里叶变换的数值方法 关键词：整数乘法;快速傅里叶变换;复杂性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 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