彼得·莱温坦；斯特凡·米勒；帕特里齐奥·内夫 具有保形不变位错能量的三维不相容张量场的Korn不等式。 （英语） Zbl 1471.35009号 计算变量部分差异。埃克。 60，第4号，第150号文件，第46页（2021）. 摘要：设（Omega\subset\mathbb{R}^3）是一个开的有界集，具有Lipschitz边界和向外单位法向（nu）。对于（1<p<infty），我们在新的Banach空间中建立了不相容张量场（p）的广义（L^p）-Korn不等式的改进形式\[\开始{对齐}&W公司^{1，p，r}0（\operatorname{dev}\operator name{sym}\operatorname{Curl}；\Omega，\mathbb{R}^{3\times 3}）\\&\quad=L^P（\Omega；\mathbb{R}^{3\次3}）中的P\\结束{对齐}\]哪里\[在[1，\infty）中，\qquad\frac{1}{r}\le\frac{1'{p}+\frac}{3}，\qqquad_r>1\quad\text{if}p=\frac[3]{2}。\]具体来说，存在一个常数\（c=c（p，\Omega，r）>0\），使得不等式\[\垂直P\Vert_{L^P（\Omega，\mathbb{R}^{3\次3}）}\le c\，\left（\Vert\operatorname{对称}P\Vert_{L^p（\Omega，\mathbb{R}^{3\次3}）}+\Vert\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{卷曲}P\垂直{L^r（\Omega，\mathbb{r}^{3\次3}）}\right）\]适用于所有张量场^{1，p，r}0（\operatorname{dev}\operator name{sym}\operatorname{Curl}；\Omega，\mathbb{R}^{3\times 3}）\）。这里，\（\operatorname{开发}X：=X-\frac{1}{3}\operatorname{tr}（X）𝟙\) 表示（3乘3）矩阵（X）的偏差（无迹）部分，边界条件在适当的弱意义下理解。如果边界条件仅满足于相对开放的非空子集（\Gamma\subset\partial\Omega），则此估计也成立。如果没有施加边界条件，则在取有限维空间（K_{S，dSC}）的商后，估计成立，该商由条件（operatorname）确定{对称}P=0\）和\（\operatorname{dev}\operator name{sym}\operatorname{卷曲}P = 0\). 在这种情况下，可以替换\（\Vert\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{卷曲}P\Vert_{L^r（\Omega，\mathbb{r}^{3\times3}）}\）由\（\Vert\operatorname{dev}\operatorname{sym}\operatorname{卷曲}P\Vert_｛W^｛-1，p｝（\Omega，\mathbb｛R｝^｛3\times 3｝）｝\）。新的（L^p）-估计通过选择（p=mathrm）隐含了一个具有弱边界条件的经典Korn不等式{D} u个\)以及通过选择\（P=a\in\mathfrak｛so｝（3）\）对Poincaré不等式的偏对称推广。这个证明依赖于三阶导数（\mathrm{D}^3P\）的表示形式，表示形式为（\mathr{D}^2\操作符名{dev}\operator名{sym}\operatorname{卷曲}P\)结合Lions引理和Nečas估计。我们还讨论了新不等式在松弛微形态模型、曲率能量最弱形式的Cosserat模型、具有塑性自旋的梯度塑性和不相容线性弹性中的应用。 引用于14文件 MSC公司： 35A23型 应用于涉及导数、微分和积分算子或积分的偏微分方程的不等式 35B45码 PDE背景下的先验估计 74年第35季度 PDE与可变形固体力学 46E35型 Sobolev空间和其他“光滑”函数空间、嵌入定理、迹定理 关键词：Cosserat模型；塑性自旋梯度塑性；非相容线弹性 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{P.Lewintan}等人，计算变量部分差异。埃克。60，第4期，第150号论文，46页（2021年；Zbl 1471.35009） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Acharya，A.：连续位错力学中的驱动力和边界条件。伦敦皇家学会会刊。A辑：数学、物理和工程科学459.2034（2003）。第1343-1363页。编号：1364-5021；1471-2946/年·Zbl 1041.74014号 [2] 阿科斯塔，G。；Durán，RG，发散算子和相关不等式（2017），纽约：Springer，纽约·Zbl 1394.35001号 ·doi:10.1007/978-1-4939-6985-2 [3] 阿科斯塔，G。；杜兰，RG；马萨诸塞州马斯切蒂，约翰域上散度算子的解，高级数学。，206, 2, 373-401 (2006) ·Zbl 1142.35008号 ·doi:10.1016/j.aim.2005.09.004 [4] Amrouche，C.，Ciarlet，P.G.，Gratie，L.，Kesavan，S.：“关于圣维南相容条件和庞加莱引理”。康普特斯·伦德斯。数学竞赛。巴黎科学院342.11。第887-891页（2006年）·Zbl 1138.74005号 [5] Amrouche，C。；西亚雷特，PG；Mardare，C.，关于Jacques-Louis Lions的引理及其与其他基本结果的关系，Journal de Mathématiques Pures et Appliquées（9），104，2207-226（2015）·Zbl 1344.46027号 ·doi:10.1016/j.matpur.2014.11.007 [6] Amrouche，C.，Girault，V.：向量空间的分解及其在任意维Stokes问题中的应用。捷克斯洛伐克。数学。J.44（119）.1，第109-140页（1994）·兹比尔0823.35140 [7] Amstutz，S。；Van Goethem，N.，《不相容算子的分析及其在位错本征弹性中的应用》，SIAM J.Math。分析。，48, 1, 320-348 (2016) ·Zbl 1398.35044号 ·doi:10.1137/15M1020113 [8] Amstutz，S.，Van Goethem，N.：位错连续统的不相容性控制弹塑性。伦敦皇家学会会刊。数学、物理和工程科学473.2199。P.21，Id/No 20160734（2017）·Zbl 1404.74022号 [9] Amstutz，S.，Van Goethem，N.：不相容算子：从黎曼的内在几何观点到弹塑性的新模型。数学科学CIM系列。编辑：J.F.Rodrigues和M.Hintermüller。第33-70页（2019年）·Zbl 1444.53020号 [10] Amstutz，S。；Van Goethem，N.，小应变非协调弹性本征模型的存在性和渐近结果，离散Contin。动态。系统。序列号。B、 103769-3805（2020年）·Zbl 1454.35121号 [11] Bauer，S。；内夫，P。；保利，D。；Starke，G.，混合边界条件下不相容平方张量场的Dev-Div和DevSym-DevCurl不等式，ESAIM Control Optim。计算变量，22，1，112-133（2016）·Zbl 1337.35004号 ·doi:10.1051/cocv/2014068 [12] Bauer，S.，Pauly，D.：关于（mathbb{R}^N\）中有界Lipschitz域上混合切向和法向边界条件的Korn第一不等式。Annali dell'费拉拉大学。塞齐奥内七世。《科学Matematiche》62（2），173-188（2016）·Zbl 1364.46028号 [13] Bauer，S。；Pauly，D.，关于Korn关于带显式常数的切向或法向边界条件的第一个不等式，数学。方法应用。科学。，39, 18, 5695-5704 (2016) ·Zbl 1357.35008号 ·doi:10.1002/月3954日 [14] 伯恩斯坦，B。；球和圆的Toupin，RA，Korn不等式，Arch。定额。机械。分析。，6，51-64（1960年）·Zbl 0094.30001号 ·doi:10.1007/BF00276153 [15] 博彻斯，W。；Sohr，H.，关于具有零边界条件的方程rot（{v}={g}）和（text{div}u=f\），北海道数学。J.，19，1，67-87（1990）·Zbl 0719.35014号 ·doi:10.14492/hokmj/1381517172 [16] Boyer，F.，Fabrie，P.：研究不可压缩Navier-Stokes方程和相关模型的数学工具。应用数学科学，第183卷。施普林格，纽约（2013）·Zbl 1286.76005号 [17] Bramble，J.H.：Lipschitz域上Stokes方程Inf-Sup条件的证明，第13卷。3，第361-371页（2003年）·Zbl 1073.35184号 [18] 布雷特，D。；Cianchi，A。；Diening，L.，Orlicz空间中的无迹Korn不等式，SIAM J.Math。分析。，49, 4, 2496-2526 (2017) ·Zbl 1380.46028号 ·doi:10.1137/16M1073662 [19] 布雷特，D。；Diening，L.，Orlicz空间中Korn不等式的Sharp条件，J.Math。流体力学。，14, 3, 565-573 (2012) ·Zbl 1280.35106号 ·doi:10.1007/s00021-011-0082-x [20] 南卡罗来纳州布伦纳；李，F。；Sung，L-Y，二维曲线问题的无局部发散内点惩罚方法，SIAM J.Numer。分析。，46, 3, 1190-1211 (2008) ·Zbl 1168.65068号 ·doi:10.1137/060671760 [21] Brenner，SC，分段（H^1）向量场的Korn不等式，数学。计算。，73, 247, 1067-1087 (2004) ·Zbl 1055.65118号 ·doi:10.1090/S0025-5718-03-01579-5 [22] Brezis，H。；Van Schaftingen，J.，具有（L^1）数据的椭圆系统的边界估计，计算变量部分。不同。Equ.、。，30, 3, 369-388 (2007) ·Zbl 1149.35025号 ·doi:10.1007/s00526-007-0094-9 [23] 坎帕纳托（Campanato），S.：弹性体中的La discuaguaglianza di Korn。Esistenza e Stabilitáin Elasticitá会议。1971年6月18日至23日，乌迪内，CISM。未发表，证据载于[38] [24] Cattabriga，L.：Su un problema al contorno relativo al sistema di equazioni di Stokes。帕多瓦大学Matematico学院院长。帕多瓦大学数学杂志31。第308-340页（1961年）·Zbl 0116.18002号 [25] Chambolle，A。；康蒂，S。；Francfort，G.，《带小跳跃集函数的Korn-Poincaré不等式》，印第安纳大学数学系。J.，65，4，1373-1399（2016）·Zbl 1357.49151号 ·doi:10.1512/iumj.2016.65.5852 [26] Cianchi，A.，Orlicz空间中的Korn型不等式，J.Funct。分析。，267, 7, 2313-2352 (2014) ·Zbl 1312.46037号 ·doi:10.1016/j.jfa.2014.07.012 [27] Ciarlet，PG，《微分几何与弹性应用导论》，J.Elast。，78-79, 1-3, 3-201 (2005) ·兹比尔1086.74001 [28] Ciarlet，PG，On Korn’s不等式，Chin。安。数学。序列号。B、 31、5、607-618（2010）·Zbl 1200.49039号 ·doi:10.1007/s11401-010-0606-3 [29] Ciarlet，PG，线性和非线性函数分析及其应用（2013），费城：工业和应用数学学会，费城·Zbl 1293.46001号 [30] 西亚雷特，PG；Ciarlet，P.Jr，线性弹性的另一种方法和Korn不等式的新证明，数学。模型方法应用。科学。，15, 2, 259-271 (2005) ·Zbl 1084.74006号 ·doi:10.1142/S0218205000352 [31] 西亚雷特，PG；马林，M。；Mardare，C.，关于J.L.Lions基本引理的向量版本，Chin。安。数学。序列号。B、 39、1、33-46（2018）·Zbl 1398.46028号 ·doi:10.1007/s11401-018-1049-5 [32] 康蒂，S。；Dolzmann，G。；Müller，S.，Korn的第二不等式和混合增长条件下的几何刚性，Calc.Var.Partial。不同。Equ.、。，50, 1-2, 437-454 (2014) ·Zbl 1295.35369号 ·doi:10.1007/s00526-013-0641-5 [33] 康蒂，S。；法拉科，D。；Maggi，F.，《（L^1）估计反例的新方法：Korn不等式、几何刚性和独立凸函数梯度的正则性》，Arch。定额。机械。分析。，1752287-300（2005年）·Zbl 1080.49026号 ·doi:10.1007/s00205-004-0350-5 [34] Conti，S.，Garroni，A.：由于Bourgain Brezis div旋度结果，对不相容场的尖锐刚度估计。康普特斯·伦德斯。数学竞赛。巴黎科学院359.2，第155-160页（2021年）·Zbl 1464.49033号 [35] 康蒂，S。；Ortiz，M.，《位错微观结构和单晶的有效行为》，Arch。定额。机械。分析。，176103-147（2005年）·Zbl 1064.74144号 ·doi:10.1007/s00205-004-0353-2 [36] d'Agostino，MV；巴巴加略，G。；基巴，I-D；艾德尔，B。；内夫，P。；Madeo，A.，通过松弛微形态模型有效描述机械带隙超材料中的各向异性波色散，J.Elast。，139, 299-329 (2020) ·Zbl 1433.74009号 ·doi:10.1007/s10659-019-09753-9 [37] Dain，S.，广义Korn不等式和共形Killing向量，Calc.Var.Partial。不同。Equ.、。，25, 4, 535-540 (2006) ·Zbl 1091.35097号 ·doi:10.1007/s00526-005-0371-4 [38] 德尔·皮耶罗，G。；Rizzoni，R.，有限弹性中的弱局部极小值，J.Elast。，93, 3, 203-244 (2008) ·Zbl 1159.74356号 ·doi:10.1007/s10659-008-9175-z [39] Desvillettes，L。；Villani，C.，《关于统计力学中Korn不等式的一种变体》，ESAIM:Control Optim。计算变量，8603-619（2002）·Zbl 1092.82032号 [40] Diening，L.，R（mathring{u}）ćička，M.，Schumacher，K.：John域的分解技术。Annales Academiñ-Scientiarum Fennicí。Mathematica 35.1，第87-114页（2010年）·Zbl 1194.26022号 [41] Ding，Z.，Li，B.：Hölder域上的共形Korn不等式。数学杂志。分析。申请。481.1，第14页，身份证号123440（2020年）·Zbl 1429.26026号 [42] Domínguez，S.，Nigam，N.：Korn不等式和Jones特征对（2019）。arXiv:1912.00133[数学.AP] [43] 杜兰，RG；马萨诸塞州马斯切蒂，琼斯域的Korn不等式，电子。J.差异。Equ.、。，127，1-10（2004年）·Zbl 1134.35396号 [44] 杜瓦特，G。；《狮子》，J-L，《Mécanique et en Physique的方程式》（1972），巴黎：杜诺，巴黎·Zbl 0298.73001号 [45] 埃博比塞，F。；哈克尔，K。；Neff，P.，几何线性各向同性梯度塑性的正则率相关模型，各向同性硬化和塑性自旋解释了Burgers矢量，Contin。机械。热电偶。，31, 5, 1477-1502 (2019) ·doi:10.1007/s00161-019-00755-5 [46] Ebobisse，F。；Neff，P.，具有各向同性硬化和塑性自旋的速率相关无穷小梯度塑性的存在性和唯一性，数学。机械。固体，15，6，691-703（2010）·Zbl 1257.74023号 ·doi:10.1177/1081286509342269 [47] Ebobisse，F。；Neff，P.，基于Kröner不相容张量的多晶体四阶规范不变梯度塑性模型，数学。机械。固体，25，2，129-159（2020）·Zbl 1446.74093号 ·doi:10.1177/1081286519845026 [48] Ebobisse，F。；内夫，P。；Forest，S.，单晶和多晶梯度塑性中微url模型的稳健性，国际期刊Plast，107，1-26（2018）·doi:10.1016/j.ijplas.2017.01.006 [49] DM Eidus，《关于弹性理论的一个混合问题》，俄罗斯。Doklady Akademii Nauk SSSR，76，181-184（1951）·Zbl 0042.18006号 [50] Fichera，G.：Sull’esistenza e sul calcolo delle soluzioni dei problemi al contorno，relativi all’equilibrio di un corpo elastico。意大利语。Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa公司。科学分类。系列III 4（248），35-99（1950）·Zbl 0041.06701号 [51] Fichera，G.：弹性力学中的存在定理。弹性和热弹性的线性理论。C.Truesdell编辑。柏林-海德堡施普林格-弗拉格出版社，第347-389页（1972年） [52] 弗莱克，NA；米勒，总经理；阿什比，MF；Hutchinson，JW，《应变梯度塑性：理论与实验》，《金属学报》。材料。，42, 2, 475-487 (1994) ·doi:10.1016/0956-7151（94）90502-9 [53] 丰塞卡，I。；Müller，S.，（\cal{A}）-拟凸性，下半连续性，和Young测度，SIAM J.Math。分析。，1355-1390年6月30日（1999年）·兹伯利0940.49014 ·doi:10.1137/S0036141098339885 [54] Francfort，G。；Müller，S.，弹性力学中均匀化和奇异摄动的组合效应，《für die reine und angewandte Mathematik杂志》，454，1-35（1994）·Zbl 0802.35007号 [55] Friedrich，M.，《SBD中具有小跳跃集的函数的Korn-type不等式》，数学。模型方法应用。科学。，27, 13, 2461-2484 (2017) ·Zbl 1386.74123号 ·doi:10.1142/S021820251750049X [56] Friedrich，M.，SBD中的分段Korn不等式及其在嵌入和密度结果中的应用，SIAM J.Math。分析。，50, 4, 3842-3918 (2018) ·Zbl 1391.74227号 ·doi:10.1137/17M1129982 [57] KO弗里德里希斯，《弹性理论和科恩不等式的边值问题》，《数学年鉴》。第二序列。，48, 441-471 (1947) ·Zbl 0029.17002号 ·doi:10.2307/1969180 [58] Friesecke，G。；James，RD；Müller，S.，几何刚度定理和从三维弹性导出非线性板理论，Commun。纯应用程序。数学。，55, 11, 1461-1506 (2002) ·Zbl 1021.74024号 ·doi:10.1002/cpa.10048 [59] Fuchs，M.，基于Orlicz空间中梯度估计的Korn不等式的推广及其在涉及对称梯度无迹部分的二维变分问题中的应用，J.Math。科学。（纽约），167，3，418-434（2010）·Zbl 1286.49042号 ·doi:10.1007/s10958-010-9927-8 [60] Fuchs，M。；Repin，S.，关于涉及对称梯度偏差部分的有界变形函数的一些Poincaré-型不等式，J.Math。科学。（纽约），178，3，367-372（2011）·Zbl 1305.74038号 ·doi:10.1007/s10958-011-0554-9 [61] Fuchs，M.，Orlicz空间中的Korn不等式，爱尔兰数学。Soc.公牛队。，65, 5-9 (2010) ·Zbl 1237.26013号 [62] Fuchs，M。；Schirra，O.，一个新的矫顽不等式在广义相对论和Cosserat弹性中研究的变分问题中的应用，给出了极小值的光滑性，Arch。数学。，93, 6, 587-596 (2009) ·Zbl 1180.49040号 ·doi:10.1007/s00013-009-0067-7 [63] 加罗尼，A。；Leoni，G。；Ponsiglione，M.，《离散位错均匀化塑性梯度理论》，《欧洲数学杂志》。Soc.，12，5，1231-1266（2010年）·Zbl 1200.74017号 ·doi:10.4171/JEMS/228 [64] Geymona，G。；Suquet，P.，《诺顿-霍夫材料的功能空间》，数学。方法应用。科学。，8, 2, 206-222 (1986) ·Zbl 0616.73010号 ·数字对象标识码：10.1002/mma.1670080113 [65] Geymona，G。；Krasucki，F.，《关于弹性相容条件的一些评论》，Rendiconti Accademia Nazionale delle Scientize detta dei XL，29175-181（2005） [66] 基巴，I-D；内夫，P。；Madeo，A。；Münch，I.，线性各向同性超静定偶应力模型的变体，具有对称局部力应力、对称非局部力应力和对称偶应力以及正交边界条件，数学。机械。固体，22，6，1221-1266（2017）·Zbl 1371.74003号 ·doi:10.1177/1081286515625535 [67] Ginster，J.，应变梯度塑性作为混合增长非线性位错能量的Lambda极限，SIAM J.Math。分析。，51, 4, 3424-3464 (2019) ·Zbl 1422.49012号 ·doi:10.1137/18M1176579 [68] Girault，V。；Raviart，P-A，《Navier-Stokes方程的有限元方法》（1986），柏林：施普林格出版社，柏林·Zbl 0585.65077号 ·doi:10.1007/978-3-642-61623-5 [69] Gmeineder，F.，Spector，D.：关于Korn-Maxwell-Sobolev不等式。数学杂志。分析。申请。502(1), 125226. doi:10.1016/j.jmaa.2021.125226·Zbl 1466.35007号 [70] Gobert，J.：《弹性的基础》。法国人。《皇家科学院公报》31，第182-191页（1962年）·Zbl 0112.38902号 [71] Grabovsky，Y.，Harutyunyan，D.：高斯曲率为零的壳的Korn不等式。《亨利·彭加莱学院年鉴》。《分析非利奈尔》35（1），267-282（2018）·Zbl 1395.74056号 [72] 格罗斯，J。；特伦克勒，G。；Troschke，S-O，《（mathbb{C}^3）中的向量叉积》，国际数学杂志。埃杜。科学。技术。，2015年4月30日至55日（1999年）·Zbl 1018.15027号 ·doi:10.1080/002073999287815 [73] Gurtin，ME，《单晶的可塑性：自由能、微力、塑性应变梯度》，J.Mech。物理。固体，48,5989-1036（2000）·Zbl 0988.74021号 ·doi:10.1016/S0022-5096（99）00059-9 [74] 马萨诸塞州古尔丁；Anand，L.，各向同性塑性无旋材料的应变-颗粒塑性理论。I.小变形，J.Mech。物理。固体，53，7，1624-1649（2005）·Zbl 1120.74353号 ·doi:10.1016/j.jmps.2004.12.008 [75] 马萨诸塞州古尔丁；Needleman，A.，解释Burgers矢量的小变形单晶塑性边界条件，J.Mech。物理。固体，53，1，1-31（2005）·Zbl 1084.74009号 ·doi:10.1016/j.jmps.2004.06.006 [76] Han，W.，Reddy，B.D.：塑性。数学理论与数值分析，第二版。第9卷。跨学科应用数学。施普林格，纽约（2013）·Zbl 1258.74002号 [77] Harutyunyan，D.，Sharp加权Korn和Korn-like不等式及其在垫圈上的应用，J.Elast。，127, 1, 59-77 (2017) ·Zbl 1361.74008号 ·doi:10.1007/s10659-016-9596-z [78] 拉瓦切克，I。；Nečas，J.，《关于Korn类型的不等式》。一： 椭圆偏微分方程组的边值问题，Arch。定额。机械。分析。，36, 305-311 (1970) ·Zbl 0193.39001号 ·doi:10.1007/BF00249518 [79] 拉瓦切克，I。；Nečas，J.，《关于Korn类型的不等式》。二： 线性弹性的应用，Arch。定额。机械。分析。，36, 312-334 (1970) ·Zbl 0193.39002号 ·doi:10.1007/BF00249519 [80] Holst，M.，Kommemi，J.，Nagy，G.：具有非恒定平均曲率的爱因斯坦约束方程的粗解。(2007). arXiv:0708.3410[gr-qc] [81] Horgan，C.O.：Korn不等式及其在连续介质力学中的应用。SIAM审查。工业与应用数学学会出版物37（4），491-511（1995）·Zbl 0840.73010号 [82] 郑，J。；Neff，P.，最弱曲率条件下线性Cosserat弹性的存在性、唯一性和稳定性，数学。机械。固体，15，1，78-95（2010）·兹比尔1197.74009 ·doi:10.1177/1081286508093581 [83] 郑，J。；拉梅扎尼，H。；穆奇，I。；Neff，P.，具有共形不变曲率的线性各向同性Cosserat弹性的数值研究，Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik，89，7，552-569（2009）·Zbl 1167.74004号 ·doi:10.1002/zamm.200800218 [84] 江，R。；Kauranen，A.，Korn不等式和John域，计算变量部分。不同。Equ.、。，56, 109, 1-18 (2017) ·Zbl 1373.35015号 [85] Kato，Y.，《积分微分二次型和Korn不等式的强制性》，名古屋数学。J.，73，7-28（1979）·Zbl 0399.35038号 ·doi:10.1017/S0027763000018298 [86] 弗吉尼亚州康德拉特埃夫；Oleinik，OA，无界域弹性理论中系统的边值问题。Korn不等式，Russ.Math。调查。，43, 5, 65-119 (1988) ·Zbl 0669.73005号 ·doi:10.1070/RM1988v043n05ABEH001945 [87] Korn，A.：《Abhandlungen zur Elastizitätstheorie II：Die Eigenschwingungen eines elastischen Körpers mit ruhender Oberfläche》。德语。Sitzungberichte der Mathematisch-physikalischen Klasse der Königlich bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München数学与物理研究中心36、351-402（1906）·JFM 37.0825.01号 [88] Korn，A.：解决问题的方法是平衡的方法，即从表面上进行努力。法国人。图卢兹大学数学与物理科学学院年鉴。2ième Série第10期，165-269页（1908年）·JFM 39.0853.03号 [89] Korn，A.：U-ber einige Ungleichungen，welche in der Theory der elastischen und elektrischen Schwingungen eine Rolle spilen。克拉科夫科学国际公报第705-724页（1909年）·JFM 40.0884.02号 [90] 科恩，T.，科恩，E.P.：电视的开拓者，亚瑟·科恩的故事。查尔斯·斯克里布纳的儿子（1950） [91] M.拉加利：Vorlesungenüber Vektor-Rechnung。德语。编辑：E.Hilb。《Monographien und Lehrbüchern》中的Mathematik und ihre Anwendungen。莱比锡高等教育学院（1928年）·JFM 54.080005（联合部队司令部） [92] 兰基特，J。；内夫，P。；Pauly，D.，可积张量系数G的可积解的唯一性及其在弹性力学中的应用，Zeitschrift für angewandte Mathematik und Physik，64，6，1679-1688（2013）·Zbl 1414.35046号 ·doi:10.1007/s00033-013-0314-4 [93] Lauteri，G.，Luckhaus，S.：维度中不相容字段的几何刚度估计（ge 3（2017））。arXiv:1703.03288[数学.AP] [94] Lazar，M.，《位错的弹塑性理论作为带扭转的物理场理论》，J.Phys。数学。Gen.，35，8，1983-2004（2002）·Zbl 1035.74014号 ·doi:10.1088/0305-4470/35/8/313 [95] Lazar，M.：广义连续介质力学中的位错。广义连续统力学。哥斯拉王朝一百年后。论文基于G.A.Maugin和A.V.Metrikine于5月13日至16日在法国巴黎举行的EUROMECH 510学术讨论会上的陈述。纽约州纽约市：施普林格2010，235-244（2009）·Zbl 1396.74034号 [96] 拉扎尔，M。；Anastasiadis，C.，《位错规范理论：螺旋位错和边缘位错的静态解》，Philos。Mag.，89，3，199-231（2009）·doi:10.1080/14786430802558551 [97] Lazar，M.，Maugin，G.A.：重新审视梯度弹性中的位错。伦敦皇家学会会刊。A.数学、物理和工程科学系列462.2075，第3465-3480页（2006）·Zbl 1149.74309号 [98] de Leeuw，K。；Mirkil，H.，（L_{infty}）范数中微分算子的先验估计，Ill.J.数学。，8, 112-124 (1964) ·Zbl 0131.33202号 [99] 卢，A。；内夫，P。；苏尔斯基，D。；Ortiz，M.，线性弹性间断Galerkin方法的最优BV估计，应用。数学。《快报》，2004年，373-106（2004年）·Zbl 1115.74021号 ·doi:10.1155/S1687120004020052 [100] Lewicka，M.，Müller，S.：薄域中的一致Korn-Poincaré不等式。《亨利·彭加莱学院年鉴》。《分析非利奈尔》28（3），443-469（2011）·Zbl 1253.74055号 [101] 勒维卡，M。；Müller，S.，关于Neumann边界条件下有界和无界域中Korn和几何刚度估计的最优常数，印第安纳大学数学。J.，65，2，377-397（2016）·Zbl 1405.74010号 ·doi:10.1512/iumj.2016.65.5797 [102] Lewintan，P.，Neff，P.：三维不相容张量场的无迹广义Korn不等式。提交（2020年）。arXiv:2004.05981[数学.AP]·Zbl 1465.35016号 [103] Lewintan，P.，Neff，P.：重新讨论Nečas-Lions引理：不相容张量场的广义Korn不等式的（L^P）版本。数学。方法。申请。科学。(2021). doi:10.1002/mma.7498·Zbl 1465.35016号 [104] Lewintan，P.，Neff，P.：具有P-可积外导数的任意维不相容张量场的广义Korn不等式的（L^P）版本。出现在Comptes Rendus中。数学竞赛。科学院（2020年）。arXiv:1912.11551[数学.AP]·Zbl 1465.35016号 [105] Lewintan，P.，Neff，P.：任意维非相容张量场广义Korn不等式的（L^P）无迹版本。出现在ZAMP（2021）中。doi:10.1007/s00033-021-01550-6·Zbl 1465.35016号 [106] Litten，F.：阿瑟·科恩·库兹传记。德语。http://litten.de/fulltext/korn.htm。2020年4月27日访问 [107] 刘，S。；Trenkler，G.、Hadamard、Khatri-Rao、Kronecker和其他矩阵产品，国际期刊信息系统。科学。，4, 1, 160-177 (2008) ·Zbl 1159.15008号 [108] López-García，F.：John域上的加权广义Korn不等式。应用科学中的数学方法41.17，第8003-8018页。编号：0170-4214；1099-1476/e（2018）·Zbl 1405.26018号 [109] 马吉亚尼，英国；斯卡拉，R。；Van Goethem，N.，《（L^p）中对称张量的相容不相容分解及其在弹性力学中的应用》，数学。方法应用。科学。，38, 18, 5217-5230 (2015) ·兹比尔1333.74020 ·doi:10.1002/mma.3450 [110] Menzel，A。；Steinmann，P.，关于单晶和多晶的高梯度塑性的连续体公式，J.Mech。物理。固体，48，8，1777-1796（2000）·Zbl 0999.74029号 ·doi:10.1016/S0022-5096（99）00024-1 [111] Mitrea，M.，Wright，M.：任意Lipschitz域中Stokes系统的边值问题。第344卷。巴黎：法国数学学会（SMF），第viii+241页（2012年）·Zbl 1345.35076号 [112] Mityagin，理学学士，关于第二混合衍生工具，俄罗斯。Doklady Akademii Nauk SSSR，123，606-609（1958）·Zbl 0090.27302号 [113] Miura，T.-H.：弯曲薄区域中的Navier-Stokes方程，第一部分：Stokes算子的统一估计。(2020). arXiv:2002.06343[数学.AP] [114] 缪勒，S。；Palombaro，M.，带位错晶体中多凸能量极小值的存在，计算变量部分。不同。Equ.、。，31, 4, 473-482 (2008) ·Zbl 1134.74015号 ·数字对象标识代码：10.1007/s00526-007-0120-y [115] 缪勒，S。；斯卡迪亚，L。；Zeppieri，CI，《不相容场的几何刚度以及应变-颗粒塑性的应用》，印第安纳大学数学系。J.，63，5，1365-1396（2014）·Zbl 1309.49012号 ·doi:10.1512/iumj.2014.63.5330 [116] 穆奇，I。；Neff，P.，弹性力学中的旋转不变性条件，梯度弹性及其与各向同性的关系，数学。机械。固体，23，1，3-42（2018）·Zbl 1391.74032号 ·doi:10.1177/1081286516666134 [117] Nečas，J.：规范等价性dans（W^{（k）}_p，（Omega）et Sur la corecivitédes formes formellement positives。三角洲方程。蒙特利尔大学出版社，第102-128页（1966年） [118] Neff，P.，关于Korn的第一个非常数系数不等式，Proc。R.Soc.爱丁堡。第节。数学。，132, 1, 221-243 (2002) ·Zbl 1143.74311号 ·doi:10.1017/S0308210500001591 [119] 内夫，P。；切米斯基，K。；Alber，H-D，关于应变梯度塑性的注释：有限应变协变建模和无穷小速率无关情况下的全局存在性，数学。模型方法应用。科学。，19, 2, 307-346 (2009) ·Zbl 1160.74009号 ·doi:10.1142/S0218202509003449 [120] 内夫，P。；艾德尔，B。；d'Agostino，MV；Madeo，A.，通过模型自适应一阶均匀化识别松弛微形态模型中的尺度相关材料参数，J.Elast。，139, 269-298 (2020) ·Zbl 1433.74014号 ·文件编号：10.1007/s10659-019-09752-w [121] 内夫，P。；基巴，I-D；拉扎尔，M。；Madeo，A.，《松弛线性微形态连续体：静态问题的适定性以及与位错规范理论的关系》，Q.J.Mech。申请。数学。，68, 1, 53-84 (2015) ·Zbl 1310.74037号 ·doi:10.1093/qjmam/hbu027 [122] 内夫，P。；基巴，I-D；Madeo，A。；Placidi，L。；Rosi，G.，《统一的观点：松弛的线性微形态连续体》，Contin。机械。热电偶。，26, 5, 639-681 (2014) ·Zbl 1341.74135号 ·doi:10.1007/s00161-013-0322-9 [123] 内夫，P。；Jeong，J.，《新范式：具有共形不变曲率能量的线性各向同性Cosserat模型》，Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik，89，2，107-122（2009）·Zbl 1157.74002号 ·doi:10.1002/zamm.200800156 [124] 内夫，P。；郑，J。；Fischle，A.，线性各向同性Cosserat参数的稳定识别：弯曲和扭转的有界刚度意味着曲率的保角不变性，机械学报。，211, 3-4, 237-249 (2010) ·Zbl 1397.74011号 ·doi:10.1007/s00707-009-0230-z [125] 内夫，P。；郑，J。；Ramézani，H.，子网格相互作用和微随机——无限小梯度弹性中的新不变性要求，国际固体结构杂志。，46、25、4261-4276（2009年）·Zbl 1176.74028号 ·doi:10.1016/j.ijsolstr.2009.07.014 [126] Neff，P.，Münch，I.：SO（3）上的卷曲边界Grad。ESAIM：控制优化。计算变量14.1148-159（2008）·兹比尔1139.74008 [127] 内夫，P。；保利，D。；Witsch，K-J，Poincaré通过Maxwell满足Korn：将Korn的第一个不等式扩展到不相容张量场，J.Differ。Equ.、。，258, 4, 1267-1302 (2015) ·Zbl 1310.35012号 ·doi:10.1016/j.jde.2014.10.19 [128] 内夫，P。；Pompe，W.，与Korn第二不等式推广相关的线性椭圆系统强制性理论反例，Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik，94，9，784-790（2014）·Zbl 1318.46024号 ·doi:10.1002/zamm.201300059 [129] Nitsche，JA，On Korn’s second不等式，RAIRO Analyse Numérique，15，3，237-248（1981）·Zbl 0467.35019号 ·doi:10.1051/m2安/1981150302371 [130] Nye，JF，位错晶体中的一些几何关系，金属学报。，1, 153-162 (1953) ·doi:10.1016/0001-6160（53）90054-6 [131] Ohno，N。；Okumura，D.，几何必要位错自能引起的高阶应力和晶粒尺寸效应，J.Mech。物理。固体，55，9，1879-1898（2007）·Zbl 1170.74015号 ·doi:10.1016/j.jmps.2007.02.007 [132] Ornstein，D.，《（L_1）范数中微分算子的非等式》，Arch。定额。机械。分析。，11, 40-49 (1962) ·Zbl 0106.29602号 ·doi:10.1007/BF00253928 [133] Panteghini，A.，Bardella，L.，Niordson，C.F.：高阶唯象应变梯度塑性预测非比例载荷下可靠响应的潜力。诉讼A 475.2229，第20190258页，21（2019）·Zbl 1472.74029号 [134] 佩恩，LE；温伯格，HF，《论科恩不等式》，Arch。定额。机械。分析。，8, 89-98 (1961) ·Zbl 0107.31105号 ·doi:10.1007/BF00277432 [135] Pinl，M.，Kollegen in einer dunklen Zeit，Jahresberich der DMV，71，167-228（1969）·兹标0182.00102 [136] Pompe，W.，Korn的第一个变系数不等式及其推广，卡罗莱纳大学数学评论，44，1，57-70（2003）·Zbl 1098.35042号 [137] Reshetnyak，YG，具有有限维核的某些微分算子的估计，Sib。数学。J.，11，2，315-326（1970）·Zbl 0233.35010号 ·文件编号：10.1007/BF00967305 [138] Reshetnyak，YG，《几何与分析中的稳定性定理》（1994），多德雷赫特：施普林格·Zbl 0925.53005号 ·doi:10.1007/978-94-015-8360-2 [139] Röger，M。；Schweizer，B.，位错密度对能量贡献的应变梯度粘塑性，数学。模型方法应用。科学。，27, 14, 2595-2629 (2017) ·Zbl 1386.74034号 ·doi:10.1142/S0218202517500531 [140] Romano，A.：关于科恩不平等的必要性。STAMM 2000：数学应用于力学趋势研讨会。编辑：P.-E.O'donoghue和J.-N.Flavin。爱思唯尔，巴黎，第166-173页（2000） [141] 罗曼诺，JD；Price，RH，为什么在“Div，grad，curl等等”中没有剪切？，美国物理学杂志。，80, 6, 519-524 (2012) ·数字对象标识代码：10.1119/1.3688678 [142] Room，TG，欧几里德三空间中旋转的构成，美国数学。周一。，59, 688-692 (1952) ·Zbl 0047.15001号 ·doi:10.2307/2307548 [143] Ryzhak，EI，Korn常数，表示具有自由面或一对面的平行六面体，Math。机械。固体，4，1，35-55（1999）·Zbl 1001.74560号 ·doi:10.1177/108128659900400103 [144] Scala，R.，Van Goethem，N.：位错奇异性的分析和几何性质。《爱丁堡皇家学会会刊》，A节，数学150.4，第1609-1651页（2020）·Zbl 1443.58003号 [145] 斯卡拉，R。；van Goethem，N.，《含位错单晶的变分方法》，SIAM J.Math。分析。，51, 1, 489-531 (2019) ·兹比尔1408.49012 ·doi:10.1137/18M1166572 [146] Schirra，OD，New-Korn-型不等式和线性椭圆方程组解的正则性，以及涉及对称梯度无迹部分的各向异性变分问题，Calc.Var.Partial。不同。Equ.、。，43，1147-172（2012年）·Zbl 1233.35062号 ·doi:10.1007/s00526-011-0406-y [147] 斯佩克特，D.E.，斯佩克特，S.J.：BMO和弹性：科恩不等式；张力J.Elast的局部唯一性。143, 85-109 (2021) ·Zbl 1465.74026号 [148] Stein，EM，奇异积分与函数的可微性（1970），普林斯顿：普林斯顿大学出版社，普林斯顿·Zbl 0207.13501号 [149] Tiero，A.，《关于Korn、Friedrichs、Magenes-Stampacchia-Ne-cas和Babuška-Aziz的不平等》，Zeitschrift für Analysis und ihre Anwendungen，20，1，215-222（2001）·Zbl 0976.35091号 ·doi:10.4171/ZAA/1012 [150] Tiero，A.，关于第二种情况下的Korn不等式，J.Elast。，54, 3, 187-191 (1999) ·Zbl 0938.35052号 ·doi:10.1023/A:1007549427722 [151] Ting，T.W.：广义Korn不等式。Tensor协会。张索尔。新系列25（1972）。第295-302页，纪念Akitsugu Kawaguchi教授70岁生日卷，第二卷·Zbl 0271.46028号 [152] Ting，TW，《St.Venant的相容条件和弹性基本问题》，《落基山数学》。，7, 47-52 (1977) ·Zbl 0378.73012号 ·doi:10.1216/RMJ-1977-7-1-47 [153] Trenkler，G.，《从代数角度看向量叉积》，《讨论数学》。生成代数应用。，21, 1, 67-82 (2001) ·Zbl 0999.15033号 ·doi:10.7151/dmgaa.1028 [154] Wang，W.，Korn不等式和Donati定理，伪核素空间上的共形Killing算子，J.Math。分析。申请。，345, 2, 777-782 (2008) ·Zbl 1145.35422号 ·doi:10.1016/j.jmaa.2008.04.063 [155] 伍尔芬霍夫，S。；森林，S。；Böhlke，T.，层压板微观结构循环行为的应变梯度塑性建模，J.Mech。物理。固体，79，1-20（2015）·Zbl 1349.74071号 ·doi:10.1016/j.jmps.2015.02.008 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。