Don B.Zagier。 微分方程的算法和拓扑。 （英语） Zbl 1471.11167号 Mehrmann，Volker（编辑）等人，欧洲数学大会。第七届ECM（7ECM）大会会议记录，德国柏林，2016年7月18日至22日。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。717-776 (2018). 在这篇综述文章中，作者介绍了微分方程理论与其他几个数学领域之间的联系，从数论、代数几何到拓扑。阿佩里对“（泽塔（3）”的非理性的证明是一个起点和激励性的例子。Apéry数是由满足某种递归定义的，它与K3曲面族的Picard-Fuchs方程有关。本课程涵盖了许多不同的主题，并介绍了一些基本理论。本文回顾了微分形式和德拉姆定理，以解释上同调和皮卡德-菲克斯方程。引入了模形式，并解释了与微分方程的关系。Etale上同调是在Weil猜想的背景下引入的，该猜想将有限域上的点计数与拓扑联系起来。不同的上同调理论导致了周期和动机的概念，通过几个例子进行了说明。虽然动机的许多预期属性仍然是推测性的，但在第7节中，给出了动机理论建议使用其他方法检查具体陈述的各种示例。这是唯一一个没有完全解释性的部分。在最后一节中，D.Zagier简要介绍了镜像对称和Gromov-Writed不变量，特别是Fano流形。他解释了Fano流形的Gamma猜想，该猜想将Fano流型的量子微分方程的渐近行为与流形的某个上同调类（称为Gamma类）联系起来。本文以开放性问题和进一步指导的一节结束。每件事都通过大量的例子加以说明，尤其是阿佩里数字经常在不同的背景下被重新审视。关于整个系列，请参见[Zbl 1396.00017号]。审核人：康斯坦丁·雅各布（剑桥） 引用于14文件 MSC公司： 11楼67 自同构\（L\）-级数的特殊值，自同构形式的周期，上同调，模符号 14号35 Gromov-Writed不变量、量子上同调、Gopakumar-Vafa不变量、Donaldson-Thomas不变量（代数几何方面） 12H20型 抽象微分方程 2015年11月34日 复域中常微分方程的代数方面（微分代数、超平移、群理论） 14J32型 Calabi-Yau流形（代数几何方面） 14J33型 镜像对称（代数几何方面） 11楼 积分权的全纯模形式 11-02 与数论有关的研究综述（专著、调查文章） 关键词：Picard-Fuchs微分方程;伽玛猜想;\（L\）-系列 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{D.B.Zagier}，in：欧洲数学大会。第七届ECM（7ECM）大会会议记录，德国柏林，2016年7月18-22日。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。717--776（2018；Zbl 1471.11167） 全文： 内政部 链接 参考文献： [1] 戈特弗里德·巴瑟尔、弗里德里希·赫泽布鲁赫和托马斯·霍夫，Geradenkonfigioo公司- 新代数《数学方面》D4，维埃格，布伦瑞克（1987）·Zbl 0645.14016号 [2] Paula Beazley Cohen和Friedrich Hirzebruch，书评：可公度 在晶格之间公共事业部(1，n）Pierre Deligne和G.Daniel Mostow。牛市。AMS公司32 (1995), 88–105. [3] Marco Bertola，Boris Dubrovin和Di Yang，简单李代数和拓扑常微分方程。出现在IMRN，36页。arXiv:1508.03750（2015）·Zbl 1373.37153号 [4] Frits Beukers，关于非理性证明的注记ζ(2)和ζ(三).牛市。伦敦数学。 Soc公司。11 (1979), 268–272. ·Zbl 0421.10023号 [5] Frits Beukers，使用模块化形式的非理性证明。在算术之旅 德贝桑松（贝桑松，1985）《阿斯特里斯克》147–148（1987），271–283，345·兹比尔0613.10031 [6] Frits Beukers，Apéry数的一些同余。J.数论21 (1985), 141–155. ·Zbl 0571.10008号 [7] Frits Beukers，Apéry Numbers的另一个同义词。J.数论25 (1987), 201–210. ·Zbl 0614.10011号 [8] Frits Beukers，关于B.Dwork的辅助参数问题。数学。Z.公司。241（2002），425–444·Zbl 1023.34081号 [9] Frits Beukers，Henri Cohen和Anton Mellit，有限超几何函数。纯净 申请。数学。问：。11 (2015), 559–589. ·Zbl 1397.11162号 [10] Frits Beukers和Gert Heckman，超几何函数的单值性n个F类n个−1.发明。数学。95 (1989), 325–354. ·Zbl 0663.30044号 [11] Frits Beukers和Chris Peters，K3表面和ζ(三).J.Reine Angew。 数学。351 (1984) 42–54. ·兹比尔0541.14007 [12] Irene Bouw和Martin Möller，与非算术Fuchsian群相关的微分方程。J.伦敦数学。Soc公司。81 (2010), 65–90. 微分方程的算法和拓扑773·Zbl 1184.12003年 [13] Jan Bruinier、Günter Harder、Gerard van der Geer和Don Zagier，1–2–3 模块化形式：挪威诺德峡湾一所暑期学校的讲座（编辑：K.Ranestad），Universitext，Springer-Verlag，Berlin–Heidelberg–New York，2008年·Zbl 1197.11047号 [14] Philip Candelas、Xenia de la Ossa、Paul Green和Linda Parkes，一对Calabi–Yau流形作为一种完全可解的超信息论。核物理。B类359 (1991), 21–74. ·Zbl 1098.32506号 [15] Philip Candelas、Xenia de la Ossa和Fernando Rodriguez Villegas，有限域上的Calabi–Yau流形，I.预印arXiv:hep-th/0012233（2000），76页；二、。在里面Calabi-Yau变种和镜像对称,Fields Inst.公社。38 (2003), 121– 157. ·Zbl 1100.14032号 [16] Tom Coates、Alessio Corti、Sergey Galkin和Alexander Kasprzyk，三维Fano流形的量子周期。几何和拓扑20 (2016) 103–256. ·Zbl 1348.14105号 [17] Tom Coates、Alexander Kasprzyk和Tom Prince，四维Fano toric完整十字路口。程序。R.Soc.A公司471（2015），同上，20140704·兹比尔1371.14047 [18] Paula Cohen和Jürgen Wolfart，一些非算术Fuchsian群的模修正。《阿里斯学报》。56 (1990) 93–110. ·Zbl 0717.14014号 [19] Clay Córdova和Shu-Heng Shao，颤动量子力学中基态简并的渐近性。数论与物理学通论10 (2016) 339– 371. ·Zbl 1346.81067号 [20] David Cox和Sheldon Katz，镜像对称与代数几何《数学调查与专著》68，AMS，普罗维登斯，1999年·Zbl 0951.14026号 [21] Pierre Deligne，Valeurs de functions公司L（左）等等。在自形 表格、陈述和L函数，程序。交响乐团。纯数学。33，AMS（1979），313–346·Zbl 0449.10022号 [22] Pierre Deligne和G.Daniel Mostow，PU（1，n）中晶格之间的可公度。《数学研究年鉴》132，普林斯顿大学出版社（1993），viii+183页·Zbl 0826.22011号 [23] Martin Deraux，非算术格和Klein四次型。J.reine angew。数学。（2017），24页。 [24] Tim Dokchitser，计算动机的特殊值L（左）-功能。专家。数学。13 (2004), 137–149. ·Zbl 1139.11317号 [25] 德米特里·加拉霍夫（Dmitry Galakhov）、彼得罗·隆吉（Pietro Longhi）、汤姆·梅尼埃罗（Tom Mainiero）、格雷戈里·摩尔（Gregory Moore）和安德鲁·奈茨克（Andrew Neitzke），《穿越长城》（Wild wall crossing）和《BPS巨人》（BPS）。JHEP公司1311（2013），46–152。 [26] 谢尔盖·高尔金，瓦西里·戈利舍夫和伊里塔尼，伽玛类和Fano流形的量子上同调：伽玛猜想。杜克大学数学。J。165 (2016), 2005–2077. ·Zbl 1350.14041号 [27] 谢尔盖·高尔金和亚历山大·乌斯尼奇，多项式的变异。预印本（2010），7页。IPMU 10-0100。 [28] Alexander Givental，量子上同调教程。在：辛几何 和拓扑结构（犹他州帕克城，1997）IAS/公园城市数学。序列号。7 (1999) 231–264. ·Zbl 1037.53510号 [29] 瓦西里·戈利舍夫，分类问题和镜像对偶。伦敦数学。Soc.Lec公司- true注释序列。338 (2007), 88–121. ·Zbl 1114.14024号 [30] 瓦西里·戈利舍夫（Vasily Golyshev）和安东·梅利特（Anton Mellit），伽玛结构和高斯的邻接性。《几何杂志》。物理学。78 (2014), 12–18. ·Zbl 1284.33001号 [31] Vasily Golyshev和Don Zagier，Picard秩一的Fano 3-折叠的Gamma猜想的证明。伊兹韦斯特。俄罗斯科学院。科学。，数学。系列80 (2016). ·Zbl 1369.14054号 [32] 费尔南多·古韦亚（Fernando Gouvea）和诺里科·尤伊（Noriko Yui）、刚性卡拉比（Rigid Calabi）–尤伊（Yau）在Q上的三倍是模块化的。博览会。数学。29 (2011), 142–149. 774Don Zagier公司·Zbl 1230.14056号 [33] 杰里米·格雷，线性微分方程和群理论 庞加莱Birkhäuser，波士顿-巴塞尔-斯图加特，1986年·Zbl 0596.01018号 [34] 菲利普·格里菲斯和约瑟夫·哈里斯，代数几何原理。John Wiley&Sons，纽约-奇切斯特-布里斯班-多伦多，1978年·Zbl 0408.14001号 [35] Alexander Grothendieck，关于代数变体的de Rham上同调。出版物。 数学。爱尔兰。埃及。美国。29 (1966), 95–103. ·Zbl 0145.17602号 [36] 马丁·盖斯特，从量子上同调到可积系统（《牛津大学数学研究生文本》，第15卷）。牛津大学出版社，牛津2008·Zbl 1161.14002号 [37] 弗里德里希·赫泽布鲁（Friedrich Hirzebruch）。代数几何中的新拓扑方法。1956年柏林施普林格·弗拉格·Zbl 0070.16302号 [38] Friedrich Hirzebruch，希尔伯特模数曲面。L'Ensengment数学建模19 (1973), 183–281. ·Zbl 0285.14007号 [39] 克里斯蒂安·胡泽尔，《巴黎圣母院：回顾历史》。《数学方面》18，维埃格，布伦瑞克（1992）。 [40] 威尔弗雷德·胡斯伯根，算术代数几何中的猜想。布兰查德，巴黎，2003年·Zbl 0745.14006号 [41] Hiroshi Iritani，复曲面球形体的量子上同调和镜像对称的积分结构。数学进展222 (2009), 1016–1079. ·Zbl 1190.14054号 [42] Nicholas Katz，关于周期矩阵满足的微分方程。出版物。l’I的数学。埃及。美国。35 (1968), 71–106. ·Zbl 0159.22502号 [43] Nicholas Katz，关于超曲面的交集矩阵。科学年鉴。标准。 啜饮。2 (1969), 583–598. ·Zbl 0187.42802号 [44] Nicholas Katz，代数几何中的正则性定理。演员，国会实习生。 数学。1 (1070), 437–443. ·Zbl 0235.14006号 [45] 尼古拉斯·卡茨，指数和与微分方程. 1990. ·Zbl 0731.14008号 [46] Nicholas Katz和Tadao Oda，关于De Rham上同调类关于参数的微分。数学杂志。京都大学。8 (1968) 199–213. ·Zbl 0165.54802号 [47] 谢尔登·卡茨，枚举几何与弦论.学生数学图书馆，IAS/Park City Mathematical Subseries 32，AMS，Providence 2006·Zbl 1091.14001号 [48] Ludmil Katzarkov、Maxim Kontsevich和Tony Pantev，《镜面对称的霍奇理论方面》。程序。交响乐。纯数学。78 (2008), 87–174. ·Zbl 1206.14009号 [49] Albrecht Klemm，Emanuel Scheidegger和Don Zagier，模形式的周期和拟周期D类-镜像五次曲面的膜质量。正在准备中。 [50] 马克西姆·孔茨维奇（Maxim Kontsevich）和唐·扎吉尔（Don Zagier），《时期》（Periods）。在数学无限–2001和 超越（B.Engquist和W.Schmid编辑），施普林格，柏林-海德堡-纽约，2001年，771–808·Zbl 1039.11002号 [51] 罗恩·利夫内，立方指数和和伽罗瓦表示。在当前趋势 算术代数几何,竞争。数学。67 (1987), 247–261. ·Zbl 0621.14019号 [52] 尤里·马宁，Frobenius流形、量子上同调和模空间AMS学术讨论会出版物47，AMS，普罗维登斯，1999·Zbl 0952.14032号 [53] 克里斯汀·梅耶，模块化Calabi–Yau ThreefoldsFields Institute Monographs，22，AMS，普罗维登斯，2005·Zbl 1096.14032号 [54] Anton Mellit和Masha Vlasenko，德沃克关于洛朗多项式幂次常数项的同余。国际数论12 (2016), 313–321. ·Zbl 1408.11114号 [55] Martin Möller和Don Zagier，Teichmüller曲线的模块嵌入。公司。 数学。152（2016）2269–2349·Zbl 1386.14118号 [56] Rahul Pandharipande，超曲面上的有理曲线（摘自A.Givental）。在塞米- 奈尔·布尔巴吉1997-1998，exposé848，Astérisque酒店252 (1998), 307–340. 微分方程的算法和拓扑775·Zbl 0932.14029号 [57] 阿尔夫·范德普滕，欧拉错过的证据。阿佩里证明ζ(三)。一份非正式报告。数学信使1 (1979), 195–203. ·Zbl 0409.10028号 [58] V.V.Przyjalkowski，加权射影空间和奇异复曲面簇中光滑完全交集的量子上同调。罗西·斯卡亚·阿卡德米亚 瑙克。Matematicheski i Sbornik公司198 (2007), 107–122. ·Zbl 1207.14059号 [59] David Roberts、Fernando Rodriguez Villegas、Mark Watkins、，超几何Mo- 类型。正在准备中·Zbl 1506.11097号 [60] Matt Rogers，J.Wan，I.J.Zucker，椭圆积分的矩和临界L值。拉马努扬J。37 (2015) 113–130. ·Zbl 1383.11048号 [61] Kira Samol和Duco van Straten，Dwork同余和反身多面体。安。 数学。奎。39 (2015), 185–203. ·Zbl 1388.11051号 [62] Chad Schoen，关于与Mumford Horrocks向量丛相关的特殊行列式超曲面的几何。J.Reine Angew。数学。364 (1986) 85–111. ·Zbl 0568.14022号 [63] Anthony Scholl，模块化形式的动机。发明。数学。100 (1990) 419–430. ·Zbl 0760.14002号 [64] Matthias Schütt，模块化刚性Calabi–Yau的三重新示例。收集。 数学。55 (2004), 219–228. ·兹比尔1062.14050 [65] 卡洛斯·辛普森，黎曼-希尔伯特通信的先验方面。伊利诺伊州数学杂志。34 (1990), 368–391. ·Zbl 0727.34007号 [66] Jan Stienstra和Frits Beukers，关于Picard–Fuchs方程和某些椭圆K3曲面的形式Brauer群。数学。安纳伦271 (1985), 269–304. ·Zbl 0539.14006号 [67] 伯特·托塔罗、欧拉和代数几何。牛市。AMS公司44 (2007) 541–559. ·Zbl 1133.14007号 [68] Paula Tretkoff，射影中的复球商和线排列 平面普林斯顿大学出版社，普林斯顿和牛津出版社，2016年·Zbl 1342.14001号 [69] Helena Verrill，Picard–椭圆曲线族的Fuchs方程。在专业- 《登月和相关主题会议》（蒙特利尔，1999）、CRM程序。演讲笔记30，AMS（2001），253-268·Zbl 1082.14503号 [70] Fernando Rodriguez Villegas，Calabi–Yau流形的超几何族。在Calabi–Yau品种和镜像对称（多伦多，安大略省，2001年），字段仪表通用。美国38号。数学。Soc.，普罗维登斯，RI，2003，223-231·Zbl 1062.11038号 [71] 费尔南多·罗德里格斯·维莱加斯和唐·扎吉尔，哪些素数是两个立方体的和？在数论（第三届加拿大数字会议论文集 理论协会），编辑K.Dilcher，CMS会议记录15（1995），295-306·Zbl 0842.11011号 [72] 吉田Masaaki，超几何函数，我的爱。《数学方面32》，维埃格出版社，布伦瑞克出版社，1997年·Zbl 0889.33008号 [73] Noriko Yui，Calabi–Yau品种的模块化：2011年及以后。在算术 K3表面和Calabi–Yau三倍的几何形状，Fields Inst.Commun公司。67 (2013), 101–139. ·Zbl 1302.14005号 [74] Don Zagier，类Apéry递推方程的积分解。在组和 对称：从新石器时代的苏格兰人到约翰·麦凯CRM会议记录和讲稿47（2009），Amer。数学。社会，349-366·Zbl 1244.11042号 [75] 唐·扎吉尔（Don Zagier）。Dwork五分铅笔上的线条及其更高级的类似物。J。 微分几何97 (2014), 177–189. ·Zbl 1328.14069号 [76] 唐·扎吉尔，弗里德里希·希尔泽布鲁奇的生活和工作。德意志Jahresberich der Deutschen Mathematiker-Vereinigung117 (2015), 93–132. ·Zbl 1323.01028号 [77] Don Zagier和Alexei Zinger，与镜像对称相关的超几何级数的一些性质。在模形式与弦对偶Fields Institute Communications第54卷（2008年），163-177。776唐·扎吉尔·Zbl 1177.33027号 [78] Wadim Zudilin，算术超几何级数。俄罗斯数学。调查66 (2011) 369–420. ·Zbl 1225.33008号 [79] Wadim Zudilin，刚性Calabi–Yau流形模块化的超几何版本·Zbl 1456.11073号 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。