保罗·巴利斯特；贝拉·博洛巴斯；罗伯特·莫里斯；朱利安·萨哈斯拉布德；马吕斯·蒂巴 存在平坦的利特伍德多项式。 （英语） Zbl 1470.42004年 安。数学。（2） 192，第3期，977-1004（2020）. 考虑一类Littlewood多项式\[P（z）=\sum_{k=0}^n\varepsilon_k z^k，\qquad z\in \mathbb C，\qqquad\varepsilen_k\in \{-1,1\}。\]在[P.Erdős公司密歇根州数学。J.4，291–300（1958年；Zbl 0081.00102号)]Erdős问，对于每一个大的度，我们是否可以找到一个如上所述的Littlewood多项式，它也满足[delta\sqrt{n}\leq|P（z）|\leq\delta\sqrt{n}\ qquad\forall z\in\mathbb C\quad\text{with}\quad|z|=1.]这里，（0<\delta<\delta）是绝对常数，特别是它们与度无关。这种多项式称为平坦利特伍德多项式。这是由推测出来的J.E.利特尔伍德[J.Lond.数学社会学41、367–376（1966；Zbl 0142.32603号)这样的平坦多项式应该存在。这篇引人注目的论文的主要结果是平坦的Littlewood多项式确实存在，从而解决了这个长期存在的猜想。作者的主要贡献和猜想中的主要困难是构造了一个同样满足下界的Littlewood多项式。确实，满足上界（Delta\sqrt n）的显式Littlewood多项式早就由H.S.夏皮罗[多项式和幂级数的极值问题。麻省理工学院（SM.论文）（1951），http://hdl.handle.net/1721.1/12188]、和W.鲁丁[《美国数学学会学报》第10期，第855–859页（1959年；Zbl 0091.05706号)]，而Spencer在80年代给出了一个非建设性的证明[J.斯宾塞，事务处理。美国数学。Soc.289679-706（1985年；Zbl 0577.05018号)]受差异理论思想的影响。本文的引言部分详细介绍了这一问题和相关问题的丰富历史，内容丰富。证明策略大致如下。首先证明平坦Laurent-Littlewood多项式的存在性就足够了\[P（z）=\sum_{k=-2n}^{2n}\varepsilon_k e^{ik\theta}，\]对于合适的频率选择（C\subset[2n]={1,2，\ldots，n\}），此多项式被拆分为以下形式\[P（z）=\varepsilon_0+2\sum_{k\ in C}\varepsilon_k\cos（k\theta）+2i\sum_{k\in[2n]\set-nus C}\valepsilon_k\sin。\]然后构造正弦多项式（θ）和余弦多项式（c（θ。作者构造余弦多项式作为鲁丁·夏皮罗多项式的修正。特别地，作者证明了在\（\mathbb T=\mathbb R/2\pi\mathbb Z\）中不相交区间\（\mathcal I\）（这些性质的精确定义相当技术性）的适当且分离良好的集合的存在，使得所有\（\ theta\notin\cup_｛I\In\mathcal I｝I\）和\（|c（\ theta）|\leq\sqrt n）表示所有\（\ theta\ in \ mathbb T \）。然后将正弦多项式构造为形式\（s（θ）=s_e（θ。奇数正弦多项式的构造成为了主要任务，作者构造它，使其在每个（I）上都是大的（\（\gtrsim\sqrt{n}\）），而在任何地方都不是太大的（\lesssim\sqrt}\）。在这里，作者意识到了与组合差异的美丽联系，并使用了Spencer的部分着色引理[Spencer，loc.cit.]，通过S.洛维特和R.梅卡[SIAM J.Compute.44，No.5，1573–1582（2015；Zbl 1330.68343号)]; 这些局部着色结果基于J.贝克[组合数学1，319–325（1981；Zbl 0491.10046号)]. 所考虑的着色是在区间\（\alpha:\mathcal I\ to \｛-1,1\｝\）的集合上定义的，使用它可以构造一个在每个\（I\in\mathcal I\）上都很大的阶跃函数。利用部分傅里叶级数和对称性，作者用系数为（[-1,1]\）的正弦多项式来近似此函数。通过精细的近似参数和大量的工作，作者可以用系数为（{-1,1\}）的奇正弦多项式替换该多项式，该系数在每个（I）上仍然“大”，在任何地方都“小”，从而完成了奇正弦多项式的构造，并以此证明了主要结果。审核人：Ioannis Parissis（毕尔巴鄂） 引用于6文件 MSC公司： 42A05型 三角多项式，不等式，极值问题 30立方厘米 一个复变量的多项式和有理函数 11B75号 其他组合数论 11升03 三角和指数和（一般理论） 关键词：利特伍德多项式；差异理论；概率方法 引文：Zbl 0142.31301号；Zbl 0081.00102号；Zbl 0142.32603号；Zbl 0091.05706号；Zbl 0577.05018号；Zbl 1330.68343号；Zbl 0491.10046号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛P.Balister｝等人，Ann.Math。（2） 192，第3号，977--1004（2020；Zbl 1470.42004） 全文： 内政部 arXiv公司 参考文献： [1] Balister，P.，界限{R} 乌迪诺–{S} 哈皮罗任意次多项式（2019） [2] J·贝克{o} 兹塞夫Roth对整数序列差异的估计几乎是尖锐的，Combinatorica。组合数学。国际期刊{a} 个博莱数学学会，1319-325（1981）·Zbl 0491.10046号 ·doi:10.1007/BF02579452 [3] J·贝克{o} 兹塞夫单位圆上的平坦多项式{五十} 小树林，公牛。伦敦数学。伦敦数学学会公报，23，269-277（1991）·Zbl 0748.30006号 ·数字对象标识代码：10.1112/blms/23.269 [4] Beller，E。；Newman，D.J.，多项式的最小模，Proc。阿默尔。数学。《美国数学学会学报》，45，463-465（1974）·Zbl 0306.30001号 ·doi:10.2307/2039981 [5] 布洛赫，A。；P\'{o} 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