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哈罗德·布鲁姆;刘宇晨

奇点的归一化体积是下半连续的。 （英文） Zbl 1470.14008号

《欧洲数学杂志》。社会（JEMS） 23，第4期，1225-1256（2021）.
设（X）为（n）维正规簇，设（D）为（X）上的有效除数。如果（（K_X+D）是（mathbb{Q}）-Cartier，并且对于某些对数分辨率（f:Y\ to（X，D）），除数（K_Y-f^*（K_X+D））具有所有系数（>-1\），则该对为klt。给定一个闭点（x中的x），我们将数据（（x，x，D））称为klt奇点。受Sasaki-Einstein度量研究的启发，并受Fano品种Kähler-Einstein度量研究的激励，Chi Li于[C.李，数学。字289，第1-2号，491-513（2018；Zbl 1423.14025号)]klt奇点（（x，x，D）的归一化体积的概念。在这篇综述中，作者证明了给定一个正规变种\（t\）上的klt奇点\（（x_t，x_t，D_t）\的\（\mathbb｛Q｝\）-Gorenstein平坦族，相对于Zariski拓扑，正规化体积\（widehat｛text｛vol｝｝（x_t，x_t，D_t）\）在\（t\）中是下半连续的。
这样的结果有几个显著的应用，无论是在研究klt奇异性本身，还是通过仿射锥构造研究（mathbb{Q}）-Fano变种（由反正则Kodaira嵌入的倍数定义的Fano变种上的仿射锥提供了klt奇异的原型）。首先，一个直接的应用表明，在所有klt奇点中，光滑点具有最大的可能归一化体积，等于\（n^n）。这一说法也在[定理A.4，刘彦（Y.Liu）和徐总杜克大学数学系。J.168，第11期，2029–2073（2019；Zbl 1436.14085号)]，但审查中的论文对此提出了一些概括。第二，也许是最重要的一点，作者在（t\mapsto\widehat{\text{vol}}（x_t，x_t，D_t））可构造性的推测假设下证明了对数K-半稳定性的Zarisk开放性。后一种可构造性随后被证明为徐总[数学年鉴（2）191，第3期，1003–1030（2020；Zbl 1469.14033号)]. 最后，给出了Fano Kähler-Einstein流形的Gromov-Hausdorf极限的研究应用，其中归一化体积的下半连续性转化为体积密度函数的下半持续性。
作者使用的证明方法在文章的简介中得到了很好的描述，并对论文的结构进行了清晰的描述。
审核人：Thibaut Delcroix（蒙彼利埃）

引用于1审查
引用于7文件

MSC公司：

14B05型 代数几何中的奇点
13甲18 交换环的赋值及其推广
20年第32季度 Kähler-Einstein流形

关键词：

奇点;归一化体积;K稳定性

引文：

Zbl 1423.14025号;Zbl 1436.14085号;Zbl 1469.14033号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{H.Blum}和\textit{Y.Liu}，《欧洲数学杂志》。Soc.（JEMS）23，No.4，1225--1256（2021；Zbl 1470.14008）
全文： 内政部 arXiv公司

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