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戴维·梅瑟;翁贝托·赞尼尔

阿贝尔变种与无雅可比变种同系。 （英语） Zbl 1441.14101号

安。数学。(2) 191，编号2，635-674（2020）.
本文的动机是一个问题C.-L.Chai先生和F.奥尔特【数学年鉴（2）176，第1期，589–635（2012；Zbl 1263.14032号)]他们要求在所有代数数的域\（\overline｛\mathbb｛Q｝｝｝）上定义的阿贝尔变种的存在性，该阿贝尔变种与任何（稳定）曲线的雅可比不同构。经典结果表明，只有维数至少为（4）的阿贝尔变种才可能得到肯定的答案。肯定的答案最终由独立给出C.-L.Chai先生和F.奥尔特【数学年鉴（2）176，第1期，589–635（2012；兹比尔1263.14032)]和J.齐默曼【数学年鉴（2）176，第1期，637–650（2012；Zbl 1250.14032号)]他构造了具有复杂乘法CM的特殊阿贝尔变种。这些变种非常罕见，Chai和Oort给出了第一个问题的改进版本，如下所示。它们从Siegel模空间中的代数（特殊）超曲面开始{A} g（_g）\)并在\（\mathcal）中明确要求{A} g（_g）\)没有CM，或者有CM但没有Weyl CM，这与\（\mathcal{H}\）中的任何内容都不同属。
在本文中，作者证明了这种无CM的阿贝尔变种的存在性，并且是Hodge属。在第一个结果（定理1.1）中，他们表明，对于代数超曲面（mathcal{H}）{A} g（_g）\)在（mathcal）中存在一个Hodge属阿贝尔变种{A} g（_g）\)它与（mathcal{H}）中的任何（B）都不同属，而它是在最多度（2^{16g^4}）的扩展上定义的。这意味着（推论1.2）存在一个主要极化的Hodge泛型阿贝尔维变种（g\geq4），它与任何Jacobian都不同属，最多定义在一个度域上（2^{16g^4}）。它们不仅回答了Chai和Oort的问题，还为定义领域的程度提供了一个界限。
他们的下一个结果（定理1.3）关注于这些特殊阿贝尔变种的集合。他们考虑了（mathcal）的有限覆盖{A} g（_g）\)以及在（上划线{mathbb{Q}}）上定义的从\（tilde{mathcal{a}}\）到仿射\（mathbb}a}^G）的有限映射\（Psi \）和\（mathcal）中的超曲面\（mathcal{H}\）{A} g（_g）\)。根据一个选定的整数（N）和一些温和的条件，他们证明了对于有限的（mathbf{N}）到（mathcal）的任何元素的投影{A} g（_g）\)不是在有界度的数字字段上定义的，就是与\（\mathcal{H}\）的元素同属的。
因此（推论1.4），他们表明，对于（g_geq_2），存在一组主要极化的（g_）维阿贝尔变种，在欧几里德拓扑中是稠密的，每个变种最多定义在一个度域上（2^{16g^4}），并且与其他变种或任何雅可比变种都不同属。与CM的情况相反，这一结果告诉我们，在某种意义上，大多数阿贝尔变种与任何雅可比变种都不同源。
对于\（g=2,3,4,5\），\（mathcal{A} g（_g）\)定义在\（mathbb{Q}\）之上，并且假设存在从\（mathbb{a}^G\）到\（mathcal）的支配有理映射\（Xi{A} g（_g）\)，它们在定理1.5中给出了定理1.3的类似陈述。他们在几个假设下证明，对于任何整数（N），只有有限多个（mathbf{N}在mathbb{Z}^G中），使得（Xi（mathbf2}）不是在（mathbb}Q}）上定义的，也不是与超曲面（mathcal{H}）中的元素同属的。在推论1.6中，他们得出的结论是：{A} _4个\)在\（\mathbb｛Q｝\）上是唯一有理的，即存在一个主要极化的阿贝尔四重，在\（\mathbb｛Q｝\）和Hodge泛型上定义，它对任何雅可比都不是同构的。
定理1.7中的最后一个结果考虑了椭圆曲线，并表示对于任意整数（N）和实代数曲线（mathcal{C}）{A} _1个\)只有有限多条椭圆曲线不是Hodge泛型的，也不是与（mathcal{C}）中元素相连的椭圆曲线同属的。
证明的一般策略是构造多个Hodge泛型阿贝尔变种，使得（mathcal{H}）中的任何元素在很大程度上都不存在同系。Hodge泛型的性质是通过使用希尔伯特不可约定理的Serre版本提供的。继续自相矛盾，他们将阿贝尔变种同属于\（mathcal{H}\）中的元素。因此，同系度大于（M），并根据品种定义域的程度，进一步生成同系度的上限。
审核人：托尔斯滕·赫里格（马尔堡）

引用于1审查
引用于2文件

MSC公司：

14小时40分 雅各宾派、普赖姆派
14H52型 椭圆曲线
14克02 同源性

关键词：

阿贝尔变种;数字字段;函数行列式;等基因

引文：

Zbl 1263.14032号;Zbl 1250.14032号
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{D.Masser}和\textit{U.Zannier}，安.数学。（2） 191，第2号，635--674（2020；Zbl 1441.14101）
全文： 内政部