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A \(k \)-没有模型的线性三角分类。 (英语) 兹比尔1433.18009

以下是一些已知的无模型三角分类示例F.穆罗等【发明数学170,No.2,231-241(2007;Zbl 1125.18009号)]. 然而,它们在一个场上不是线性的,并且依赖于非常特殊的特性。本文考虑特征域(0)上的三角范畴,并在没有模型的情况下证明了三角范畴的存在性。在模型中,是指DG增强,或等效的(a_\infty)增强。然后,本文的主要结果是一个不带(a_\infty)增强的(k)-线性三角分类的示例。
设\(n \geq 3 \)是一个固定数,\(k \)一个特征场\(0 \)或一个无限特征场\ R)(R),(operatorname{HH})的Hochshild cochain复合体^n(R,R)=H^n(C(R,R))和\(T^n_{R/k}=\楔形^n_R\运算符名称{德语}(_k)(R,R)\)。Hochschild-Kostant-Rosenberg定理说,存在一个包含\(T^n_{R/k}\子集Z^nC(R,R)\),导致同构\(T_n_{R/k}\ simeq\操作符名{HH}^n(R,R)\)。设T^n_{R/k}中的(eta)和(R_\eta)是(R[\varepsilon]\)的\(k[\varesilon]\)-线性\(A_\infty\)-变形,其唯一的非平凡高次乘法由\(varepsilon\eta)给出。作者证明了对于(n(geq 14)和(eta)neq 0),存在一个没有用半正交分解(langle D(K),D(R_eta)rangle)增强的(a_infty)增强的三角范畴。大多数介绍部分都给出了给出此示例所需的基础知识。
(A_\infty)范畴是一种具有更高成分((m_i){i\geq1})的DG-graph,满足某些自然二次关系。如果只定义了带有\(i\leqn \)的\(m_i \),则称为\(A_n\)-类别。贯穿本文的一般原则是,对于任何(A_infty)概念,都有一个对应的(A_n)概念,其中只考虑小于(n)个参数的操作。注意,(A_\infty)-代数不是范畴,但如果(mathfrak A)是(n\geq3)的(A_n)-范畴,同伦范畴(H^0(mathfrak A)是一个诚实的范畴。
DG类别是对于\(i>2\)具有\(m_i=0\)的\(A_\infty\)类别,A.I.债券M.M.卡普兰诺夫[苏联数学,Sb.70,No.1,93–107(1991;Zbl 0729.18008号); Mat.Sb.181,No.5,669–683(1990)的翻译]通过同伦范畴是规范三角化的特性引入了预处理的DG-范畴。因此,预监管DG类别是具有附加属性的DG类别。这个想法被扩展到定义一个类似的预仲裁类别的概念。如果自然函子\(\mathfrak a\rightarrow\mathsf{Tw}\;\mathfrak a\)是拟等价的,则这是预先确定的,其中\(\mathsf{Tw}\,\mathflak a~)是\(\mathfrak a \)上扭曲复形的范畴。这相当于\(mathfrak a)在闭映射的悬浮、去悬浮和锥下闭合,直到\(H^0(\mathsf{Tw}\;\mathfrake a)\)中的同构。这些操作的语句需要在\(mathfrak a)上进行有限数量的更高操作,并且对于\(a_n\)-categories,\(n\gg 0)有意义。对于一个\(A_\infty \)-类别\(\mathfrak A \),\(H^0(\mathsf{Tw}\;\mathbrak A)\)是规范三角化的,因此如果\(\mathfrak A\)是预先规划的,那么\。最合理的是,这只能通过在\(mathfrak a)上的有限多个高级运算来证明,因此应该可以为\(n\gg 0)定义一个预调度\(a_n)-范畴的概念,它在同伦范畴上诱导一个正则三角剖分。作者选择从(A_\infty)-上下文中使用技术来处理显式计算。主要困难在于,(mathsf{Tw};mathfraka\)的定义依赖于无界arity的(mathfraka)中较高的成分,因此不能推广到(a_n\)范畴。这是通过使用均匀有界长度的扭曲复数来解决的。然后仅\(\mathsf{两}_{\leq 1}\;\需要mathfrak a),它由长度为2的扭曲复合物组成。文章的第一个主要结果是:
定理。如果\(\mathfrak a\)是\(a_n\)-类别,则\(\ mathsf{两}_{\leq 1}\;\mathfrak a)是一个(a{lfloor(n-1)/2\floor})类别。如果(n \geq 7),那么我们说,如果(H ^ \ast(\mathfrak a)\rightarrow H ^ \ ast(\ mathsf{Tw}_{\leq 1}\;\mathfrak a)\)是分级等价。如果预处理了\(mathfrak a)并且\(n \geq 13),则\(H^0(mathbrak a)\)是标准三角剖分。
作者研究了一个粘合过程:如果(mathfrak a)是一个(a_n)范畴,则其预处理外壳(mathsf{Tw};mathfrak-a)没有很好的定义。然而,有一个粘合程序,从预处理类别开始,可以生成预处理类别,而这些类别本身不是预处理类别。对于三角范畴\(mathcal A,mathcal B)和\(mathcal M)A(mathcall B-mathcal A\)-双模,(mathcal-M\)之间的粘合是三角范畴\分别=(mathcal A,mathcal B\)中对象\(A,B\)的\ mathcal M(A,B)\)。数据\((mathcal A,\mathcal B,\mathcal M)\)确定\(mathcar C)到同构为止的对象,并且有一个长而精确的序列将\(mathcal C)中的\(operatorname{Hom}\)-空格与\(matchcal A,\mathcal B)中的那些空格以及\(mathcal M)中的元素关联起来。然而,作者声称三角分类太松散,不允许从三元组((mathcal A,mathcal B,mathcal-M))构造(mathcal-C)。对于\(A_\infty\)-categories\(\mathfrak A,\mathfrak b)和\(M)\(A_ \infty-\mathflak b-\mathbrak A)-模块,可以定义一个\(A\infty)-胶合类别\(\math frak c=\mathfak A\coprod_M\mathrak b),这样,\(\mathfrak A,\mathfrak-b\)三角化意味着\(\marhfrak c)预调度,这样\(H^0(\mathfrak c)=\langle H^0(\mathfrak a),H^0(\mathfrak b)\langle\)是一个具有相关双模的半正交分解(H^0(M)\)。同样,这只涉及有限数量的高级操作,因此适用于\(a_n\)-类别。再次逐字记录:
定理。假设\(n\geq 13),\(\mathfrak a,\mathfrak b)是预处理的\(a_n)-类别,并且\(M)是一个\(an-\mathflak b-\mathbrak a)-双模块。那么\(\mathfrak a\coprod\mathfrack b\)是一个预处理的\(a_{n-1}\)范畴。如果\(n \geq 14),那么\(H^0(\mathfrak a \coprod_M\mathfrak b)\)由前面的定理三角化,那么我们有一个半正交分解\(H ^0(\ mathfrack a \copod_M\ mathfrack b)=langle H ^0。
前面给出的反例以形式\(mathcal D=H^0(mathfrak a\coprod_M\mathfrack b)\)给出,其中\(mathfrak a,\mathfrack b\)preciannegulated\(a_\infty\)-类别和\(M\)an\(a_n-\mathflak a-\mathbrak b\)-双模块。对于足够大的\(n),\(mathcal D)是标准三角化的,\(mathcal D \(H^0(F')=H^0。作者证明了这样的(F’)不存在,从而暗示了在(mathcal D)上不存在(A_\infty)增强。这是通过\(\mathfrak a,\mathfrak b \)标准\(a_\infty \)增强\(D(K),D(R_\eta),\;\eta\neq 0\)。确切的函子\(f:D(K)\右箭头D(R_\eta):K\右箭头K_\eta\)提升为\(A_{n-1}\)-函子\。只要\(\eta\neq 0\),\(f\)就不会提升为\(A_\infty\)-函子,即使是增强的移位。托达括号(Toda brackets)是这一点的证明。
这篇文章写得很好,它包含了(所有?)必要的序言,使其自足。此外,它给出了\(a_\infty\)类别的一个非常好的应用,以及非常有趣的结果和计算技术。

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18个G80 派生类别、三角类别
18国道35号 链复合体(分类-理论方面),dg类别
18号60 \((infty,1))-范畴(拟范畴、Segal空间等)\(\infty\)-topoi,稳定\(\inffy\)-categories
2009年10月13日 导范畴与交换环
14年22日 非交换代数几何
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