尼古拉斯·贝杰隆 算术组中的扭同调增长。 （英语） Zbl 1422.11124号 Mehrmann，Volker（编辑）等人，欧洲数学大会。第七届ECM（7ECM）大会会议记录，德国柏林，2016年7月18日至22日。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。263-287 (2018). 这项调查有很多想法。作者对本可以包括的各种问题未能在本文中涵盖表示遗憾。但是，这里勾勒出的想法、问题动机、已知结果、猜想和解决方法，对于非专业人士来说，已经是一笔名副其实的财富，对于专家来说也是有用的。本文中描述的结果和猜想是与Akshay Venkatesh合作获得的。经典地，只详细研究了算术群同调群的自由部分。例如，对于\（\mathrm）的同余子群\（\Gamma_0（N）\）{SL}_2（R） 其中，\（R\）是实二次域的\（\mathbb{Z}\）或整数环，\（i=1,2\）的自由部分\（H_i（\Gamma_0（N），\mathbb{Z}）分别与经典模形式和Hilbert模形式密切相关。扭转部分似乎没有什么算术意义。然而，与之形成鲜明对比的是，当R是虚二次域的整数环时，自由部分较小，而扭转部分较大，并且具有很深的算术意义。由于以下原因，给出几个引人注目的例子M.H.öengün先生【国际数论杂志8，第2期，311–320（2012；Zbl 1243.30085号)]:当\（R=\mathbb{Z}[i]\）时，则\[\伽马_0（41+56i）^{ab}\cong\mathbb{Z}/4078793513671\mathbb{Z}\oplus\mathbb}Z}/292306033\mathbb2{Z}\ oplus\cdots\]\[\伽马_0（118+175i）^{ab}\cong\mathbb{Z}\oplus T\]其中，\（T\）是阶\（>10^{310}\）的有限阿贝尔群。正如作者所说，“除了展示巨大的随机分布素数的罪恶乐趣之外，还有更严重的理由来研究同源性中的扭曲”。关于\（\mathrm的同余子群{SL}_2（R） 对于虚二次域的整数环，给出了以下猜想：猜想。设（M_n\rightarrow M_0）（n中的（n））是一个固定同余双曲流形的同余覆盖序列，使得（mathrm{Vol}（M_n）\rightarrow\infty）。然后，\[\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\log|H_1（M_n，\mathbb{Z}）{\mathrm{tors}|}{\mathrm{Vol}（M-n）}=\frac{1}{6\pi}。\]关于\（\mathrm）这个猜想的一个特例{SL}_2（\mathbb{Z}[i]）更准确地断言：\[\压裂{\log|H_1（\Gamma_0（N），\mathbb{Z}）{\mathrm{tors}|}{N^2}\rightarrow\frac{\lambda}{18\pi}\]作为\（N\rightarrow\infty\），其中\（lambda=L（\chi_{\mathbb{Q}（i）}，2）=1-\frac{1}{9}+\frac}{25}-\cdots\）这一猜想激发了Sengün上述的计算。猜想本身的动机来自于对闭流形的Ray-Singer解析扭转的研究，其中Cheeger和Müller定理的一个特例暗示了Selberg-zeta函数的一个表达式，该表达式类似于表达\（L\）-根据Tate Shafarevich群的秩和大小，椭圆曲线的函数。作者提出了一个论点来解释\（\Gamma_0（N）\）中的mod-\（p\）扭类（非常粗略地）参数化\（\mathbb｛Q｝（\sqrt｛d｝）\）的二次扩张，其Galois群是\（\mathrm）的子群{德国}_2（\上划线{\mathbb{F} （p）})\). 相反，为了解释实二次型和虚二次型情形中表现出的截然不同的行为，分析了将扭转类与某些场扩展相关联的某些猜想。有鉴于此，作者考虑对一般算术群提出一个适当的猜想，并对（mathrm）中有限指数子群的情况给出了以下精确的形式{SL}_n（\mathbb{Z}）\）用于\（n\geq3\）。猜想。设\（Gamma_i）（\（i\geq 1））是\（\mathrm）中有限指标的一个不同子群族{SL}_n（\mathbb{Z}）\）。然后，作为\（i\rightarrow\infty\），数字\（\frac{\log|H_q（\Gamma_i，\mathbb{Z}）_{tors}|}{[\mathrm{SL}_n（\mathbb{Z}）：\Gamma_i]}\）倾向于\（0\），除非我们处于以下两种情况之一：\（n=3，q=2）在这种情况下，极限是（frac{zeta（3）}{288\pi^2}）；或\（n=4=q\）i在这种情况下，极限是\（frac{31\sqrt{2}\zeta（3）}{259200\pi^2}\）。作者还进一步勾勒出一种证明猜想的可能方法。关于整个系列，请参见[Zbl 1396.00017号].审核人：Balasubramanian Sury（班加罗尔） 引用于1审查引用于4文件 MSC公司： 11楼75 算术群的上同调 14G35型 模块化和Shimura品种 关键词：算术群的同调；扭转；mod-\（p\）模块化形式；\（L\）-函数；解析扭转 引文：Zbl 1243.30085号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{N.Bergeron}，in：欧洲数学大会。第七届ECM（7ECM）大会会议记录，德国柏林，2016年7月18-22日。苏黎世：欧洲数学学会（EMS）。263-287（2018；Zbl 1422.11124） 全文： 内政部 参考文献： [1] M.Abért、N.Bergeron、I.Biringer、T.Gelander、N.Nikolov、J.Raimbault和I.Samet，《关于L（左）李群中格序列的2-不变量。数学年鉴。 （2）185 (2017), 711–790. ·Zbl 1379.2206号 [2] M.Abért，T.Gelander和N.Nikolov，秩，高秩格中的组合代价和同调扭转增长。杜克大学数学。J。166 (2017), 2925–2964. ·Zbl 1386.22008年 [3] Miklós Abért和Nikolay Nikolov，秩梯度，群的代价和秩对Heegaard属问题。《欧洲数学杂志》。社会（JEMS）, 14(5):1657–1677, 2012. ·Zbl 1271.57046号 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