雅罗斯·麦德斯基 有界区域中的非线性时谐Maxwell方程：缺乏紧性。 （英语） Zbl 1402.35271号 科学。中国，数学。 61，第11期，1963-1970（2018）. 摘要：我们综述了关于这个问题的基态和束缚态解（E:\Omega\to\mathbb{R}^3）的最新结果\[\开始｛cases｝\nabla\times（\nabla\times E）+\lambda E=|E|^{p-2}东&\文本{in}\Omega，\\nu\times E=0&\text{on}\partial\Omega\end{cases}\]在有界Lipschitz域\（\Omega\subset\mathbb{R}^3）上，其中\（nabla\times\）表示\（\mathbb{R}^3）中的旋度运算符。该方程描述了非线性各向同性材料（omega）中时谐电场（mathfrak{R}\{E（x）\mathrm{E}^{i\omega-t}\}）的传播，其中，（lambda=-\mu\varepsilon\omega^2\leqsleat0）和（mu\）代表材料的磁导率和介电常数的线性部分。非线性项\（|E|^{p-2}东\)其中（2<p\leqsleat2^ast=6）来自非线性极化，边界条件是理想导体包围的（{Omega}）的边界条件。该问题具有变分结构；然而，与该问题相关的能量泛函是强不确定的，不满足Palais-Smale条件。我们展示了问题的潜在困难，并提出了一些开放性问题。 引用于三文件 MSC公司： 60年第35季度 与光学和电磁理论相关的PDE 35J20型 二阶椭圆方程的变分方法 58E05型 无穷维空间中的抽象临界点理论（莫尔斯理论、Lyusternik-Shnirel’man理论等） 35B33型 偏微分方程中的临界指数 78A25型 电磁理论（通用） 关键词：时间调和麦克斯韦方程组;理想导体;基态;变分法;强不定泛函;Nehari-Pankov流形;Brezis-Nirenberg问题;临界指数 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{J.Mederski}，科学。中国，数学。611963-1970（2018；Zbl 1402.35271） 全文： DOI程序 参考文献： [1] Amrouche，C。；伯纳迪，C。；Dauge，M。；等。，三维非光滑域中的向量势，数学方法应用科学，21823-864，（1998）·Zbl 0914.35094号 ·doi:10.1002/（SICI）1099-1476（199806）21:9＜823:：AID-MMA976＞3.0.CO；2-B型 [2] Bartsch，T。；丁毅，非度量向量空间上的变形定理及其在临界点理论中的应用，Math Nachr，2791267-1288，（2006）·Zbl 1117.58007号 ·doi:10.1002/mana.200410420 [3] Bartsch，T。；Mederski，J.，有界区域中半线性时谐Maxwell方程的基态和束缚态解，Arch Ration Mech Anal，215283-306，（2015）·Zbl 1315.35214号 ·doi:10.1007/s00205-014-0778-1 [4] Bartsch，T。；Mederski，J.，各向异性有界介质中的非线性时谐Maxwell方程，《函数分析杂志》，2724304-4333，（2017）·Zbl 1386.35385号 ·doi:10.1016/j.jfa.2017.02.019 [5] Bartsch，T。；Mederski，J.，区域中的非线性时谐Maxwell方程，J不动点理论应用，19959-986，（2017）·Zbl 1364.35350号 ·doi:10.1007/s11784-017-0409-1 [6] Benci，V。；Rabinowitz，P.H.，不定泛函的临界点定理，《发明数学》，52，241-273，（1979）·Zbl 0465.49006号 ·doi:10.1007/BF01389883 [7] 伯曼，M.S。；Solomyak，M.Z.，任意有界域中Maxwell算子的L2-理论，俄罗斯数学调查，42，75-96，（1987）·兹比尔0653.35075 ·doi:10.1070/RM1987v042n06ABEH001505 [8] Brezis，H。；Nirenberg，L.，涉及临界Sobolev指数的非线性椭圆方程的正解，Comm Pure Appl Math，36，437-477，（1983）·Zbl 0541.35029号 ·doi:10.1002/cpa.3160360405 [9] Costabel，M.，关于Maxwell方程在Lipschitz域上解的正则性的注记，数学方法应用科学，12，365-368，（1990）·Zbl 0699.35028号 ·doi:10.1002/mma.1670120406 [10] Dörfler W，Lechleiter A，Plum M等。光子晶体：数学分析和数值近似。巴塞尔：施普林格，2012年·Zbl 1238.78001号 [11] Kirsch A，Hettlich F.《时间谐波麦克斯韦方程的数学理论：展开法、积分法和变分法》。纽约：Springer，2015·Zbl 1342.35004号 [12] 克里斯泽夫斯基，W。；Szulkin，A.，广义连接定理及其在半线性薛定谔方程中的应用，Adv微分方程，3441-472，（1998）·Zbl 0947.35061号 [13] Leis，R.，Zur Theorye elektromagnetischer Schwingungen in anisotropen influency Medien，Math Z，106，213-224，（1968）·doi:10.1007/BF01110135 [14] Mederski，J.，时间调和半线性Maxwell方程的基态ℝ3，具有消失介电常数，Arch Ration Mech Ana，218825-861，（2015）·Zbl 1457.35077号 ·doi:10.1007/s00205-015-0870-1 [15] Mederski，J.，具有周期势且谱边界为零的非线性薛定谔方程的解，Topol方法非线性分析，46，755-771，（2015）·Zbl 1362.35289号 [16] Mederski，J.，具有周期势的非线性薛定谔方程组的基态，Comm偏微分方程，411426-1440，（2016）·Zbl 1353.35267号 ·doi:10.1080/03605302.2016.1209520 [17] Mederski，J.，卷曲算子的Brezis-Nirenberg问题，《函数分析杂志》，2741345-1380，（2018）·Zbl 1397.35298号 ·doi:10.1016/j.jfa.2017.12.012 [18] Mitrea，M.，Sharp-Hodge分解，Maxwell方程和非光滑三维黎曼流形上的向量Poisson问题，Duke Math J，125，467-547，（2004）·Zbl 1073.31006号 ·doi:10.1215/S0012-7094-04-12322-1 [19] 麦克斯韦方程的Monk P.有限元方法。牛津：牛津大学出版社，2003·Zbl 1024.78009号 ·doi:10.1093/acprof:oso/9780198508885.001.00 [20] 潘科夫，A.，周期非线性薛定谔方程及其在光子晶体中的应用，米兰数学杂志，73，259-287，（2005）·Zbl 1225.35222号 ·doi:10.1007/s00032-005-0047-8 [21] 皮卡德，R。；韦克，N。；Witsch，K-J，《理想导电、不规则障碍物外部的时间-谐波麦克斯韦方程》，《分析》（慕尼黑），21，231-263，（2001）·Zbl 1075.35085号 [22] Rabinowitz，P.，临界点理论中的极小极大方法及其在微分方程中的应用，（1986），普罗维登斯·Zbl 0609.58002号 [23] Saleh B E A，Teich M C。《光子学基础》，第2版，纽约：威利出版社，2007年 [24] Struwe M.变分方法。纽约：Springer-Verlag，2008·Zbl 1284.49004号 [25] Stuart，C.A.，电磁场的自陷和基本谱的分岔，《机械力学年鉴》，113，65-96，（1991）·兹比尔074535044 ·doi:10.1007/BF00380816 [26] Szulkin，A。；Weth，T.，一些不定变分问题的基态解，《函数分析杂志》，2573802-3822，（2009）·Zbl 1178.35352号 ·doi:10.1016/j.jfa.2009.09.013 [27] Zeng，X.，具有临界指数的卷曲方程的柱面对称基态解，Z Angew Math Phys，68，135，（2017）·Zbl 1397.35104号 ·doi:10.1007/s00033-017-0887-4 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配，可能包含数据转换错误。在某些情况下，zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献，而不要求完整或完全匹配。