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饱和幂和ε重数的渐近增长。 (英语) Zbl 1238.13012号

在本文中,作者研究了模的饱和幂的增长。让\(lambda(M)\)表示\(R\)-模\(M\)的长度。
作者证明了以下结果:
定理。假设\(R,\mathfrak{m}\)是维数\(d\geq1)和\(\mathrm{depth}\geq2)的noetherian局部域,它在特征为零的字段\(K)上本质上是有限类型的(或在完美字段\(K\)上,使得\(R/\mathfrak{m})在\(K_)上是代数的)。假设(E)是有限生成自由(R)-模(F)的秩子模。然后是限制\[\lim_{k\to\infty}\lambda(E^k:_{F^k}\mathfrak{m}^\infty/E^k)/k^{d+E-1}\in\mathbb R\]存在。
当(E=I\)是齐次理想且(R\)是标准分次正规(K\)代数时,该定理在[S.D.Cutkosky公司等。可以。数学杂志。57,第6期,1178–1192(2005年;Zbl 1095.13015号]. 当\(R\)是正则的,\(E=I\)是一个理想,\(mathrm{Spec}(R/I)\)的奇异轨迹是\(mathfrak{m}\)时,定理在[S.D.库特科斯基等.数学。程序。外倾角。菲洛斯。Soc.148,No.1,55-72(2010年;Zbl 1200.13010号)]. 此外,Kleiman(与作者的通信)还证明了当E是F在R的每个非极大素数处的局部直和时的上述定理。
作者得到了上述定理的以下推论,表明模的ε多重性\(\varepsilon(E)\)定义为limsupB.乌尔里奇J.瓦利达什蒂参见《数学程序》(Math.Proc.Camb.Philos.Soc.151),第1期,第95–102页(2011年;Zbl 1220.13006号)],作为限制存在。
推论。假设\(R,\mathfrak{m}\)是维数\(d\geq1)和\(\mathrm{depth}\geq2)的noetherian局部域,它在特征为零的字段\(K)上本质上是有限类型的(或在完美字段\(K\)上,使得\(R/\mathfrak{m})在\(K_)上是代数的)。假设(E)是有限生成自由(R)-模(F)的秩子模。然后是限制\[\lim{k\to\infty}(d+e-1)/k^{d+e-1}\lambda(H^0_{mathfrak{m}}(F^k/e^k))\in\mathbb R\]存在。因此,(E)的ε重数作为极限存在。

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13A30型 理想的关联分次环(Rees环,形式环),解析扩散和相关主题
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