西蒙·唐纳森 黎曼曲面。 （英语） Zbl 1235.30001号 牛津大学数学研究生课程22.牛津：牛津大学出版社（ISBN 978-0-19-852639-1/hbk；978-0-19/960674-0/pbk）。xiii，第286页。(2011). 这篇关于黎曼曲面的研究生课文针对的是在一般拓扑学、实分析和复变量函数理论方面有合理背景的成熟学生。正如作者、著名田赛奖牌得主西蒙·唐纳森（Simon K.Donaldson）在前言中指出的那样，这本书的起源可以追溯到1981年，以及牛津大学的一次“初级研讨会”，其核心部分最终是由大约十年前分别在牛津大学、斯坦福大学和伦敦帝国学院开设的研究生课程发展而来的。因此，正如作者在几十年的数学研究和教学中所发展的那样，本文当然反映了作者对黎曼曲面理论及其在数学中的特殊地位的看法。事实上，这本书中的方法和重点与关于这个主题的大多数其他介绍性文本有很大的不同，并且确实有许多黎曼曲面理论的优秀入门。粗略地说，作者将该理论与经典的复杂分析根以及与几何拓扑、整体分析、黎曼几何、代数几何和双曲几何等领域相关的更为热门的方面相结合。至于更精确的内容，正文由四个主要部分组成，每个部分分为几个章节、小节和小节。第一部分的标题是“序言”，包含前两章。第一章是导论，回顾了一个复变量的全纯函数的一些例子，从而强调了解析延拓和复常微分方程的思想。第2章对曲面的拓扑分类进行了非正式的介绍，并首次说明了Dehn扭曲和映射类群。第二部分以“基础理论”为题，是黎曼曲面理论的快速入门课程。这一部分包括随后的五章，专门讨论一些基本主题。第三章介绍了黎曼曲面及其全纯映射，并以黎曼曲面的代数曲线和商为例进行了说明。第四章详细研究了黎曼曲面之间的全纯映射，包括覆盖映射及其单值性、复代数曲线的紧化、亚纯映射和黎曼存在定理。第5章发展了光滑实曲面和黎曼曲面上的微分形式理论，因为这将是以下章节中的主要技术工具。余切空间和1-形式，2-形式的积分，de Rham上同调的概念，庞加莱对偶和紧支持上同调，黎曼曲面上的Hodge分解，拉普拉斯算子和调和函数，和黎曼曲面上1-形式的Dirichlet范数是这一章相当简明的主要内容。第六章研究了亏格1的Riemann曲面，其中还讨论了椭圆积分、Weierstrass（wp）-函数、theta函数等经典问题，以及通过J不变量对椭圆曲线的分类。最后，第7章将回到黎曼曲面的更多拓扑方面。以三角曲面的欧拉特征为基本工具，作者从拓扑的角度研究了黎曼曲面上的亚纯函数，以另一种方式定义了黎曼表面的亏格，并描述了一些其他（经典）结果作为进一步的应用，包括黎曼-胡维茨公式，度亏格公式，黎曼曲面上的实结构和Harnack界，与素数\（p\geq3\）相关的某些模曲线的拓扑，以及其他例子。第三部分包含第8、9和10章，必须视为本书的核心。本部分以“更深入的理论”为题，致力于研究关于黎曼曲面的一些核心的、最基本的结构结果。第8章首先解释了作者方法的特殊策略，该方法主要基于希尔伯特空间方法、霍奇理论和复分析中的超线性部分方法。因此，作者提出了一个他称之为“紧致黎曼曲面的主要定理”的声明。此深度分析输入如下所示：设（X）是紧连通Riemann曲面，设（rho）是（X）上的2-形式。那么方程（Delta f=rho）有一个解（f）当且仅当（rho）对（X）的积分为零，且该解在加常数之前是唯一的。此外，立即导出了该定理的重要结果，包括紧连通Riemann曲面的Hodge分解定理和Riemann-Roch公式的Hodge-理论证明。第9章给出了看似非常强大的解析主定理的详细而复杂的证明，而第10章则提供了著名的连通黎曼曲面均匀化定理的新证明。作者对这一主题的研究是基于对他的“紧致黎曼曲面的主要定理”的一个适当的类比，并且大部分工作都是为了证明这个修改的结果。毫无疑问，作者对Riemann曲面的一些基本结构结果的非标准处理是非常有趣且极具启发性的。本书的第四部分题为“进一步发展”，并在剩下的五章中阐述了黎曼曲面高级（和当代）理论的各个方面。第11章建立了紧致连通Riemann曲面范畴与超越1域范畴（mathbb{C}）之间的等价性，从而分别深入讨论了黎曼曲面的亚纯函数域和抽象域上的赋值。在本章的第二节中，我们生动地展现了黎曼曲面、双曲曲面的黎曼几何和齐次空间的几何之间的联系，并对紧致双曲曲面中的闭测地线进行了专门的研究。第12章讨论了带轮及其上同调、除数、线丛、射影嵌入和雅可比变种的现代一般框架内的紧曲面几何。一路上，读者在这里再次遇到了黎曼-罗赫定理、塞雷对偶定理、阿贝尔-雅可比定理、皮卡德群、紧致黎曼曲面的对称积、一些相关的代数拓扑、，通过亏格2的紧致Riemann曲面的Kummer四次曲面和Jacobians，偏离射影几何。第13章转向黎曼曲面的族、变形和模空间。阿尔莫斯-复结构、贝尔特拉米微分和黎曼曲面在其上同调背景下的无穷小变形是本章的主题之一。然后在第14章的第一部分中研究了紧致黎曼流形的微分同构群、映射类群、Dehn扭和辫子群。在随后的章节中，一方面利用Teichmüller理论给出亏格（g）紧Riemann曲面的模空间（M_g）的双曲几何描述，另一方面利用双曲几何方法构造这些模空间的紧化。最后的第15章详细介绍了黎曼曲面与复杂常微分方程之间的联系。在此背景下，讨论了超几何方程、Möbius映射、共形映射、全纯形式的周期和奇异Riemann曲面。每章以一系列相关练习结束。其中许多都提供了具体而有启发性的例子来加强正文，而其他的则相当困难和具有挑战性，但仍极具启发性。总的来说，本文提供了黎曼曲面（经典和现代）理论的广阔全景，并深入介绍了拓扑和几何的大量新思想，阐明了复杂分析的这一迷人领域。正如作者本人在本书序言中指出的那样，随着文本的发展，呈现的数学水平变化很大。第一部分、第二部分和第三部分的处理方法适用于初学研究生，从头到尾都提供了充分的证据，而第四部分则逐渐需要更多的背景知识，写作风格通常更为非正式、描述性和粗略。总之，这本由该领域当代大师之一所写的关于黎曼曲面理论的非常清晰、生动和多功能的介绍，必须被视为该领域广泛的教科书文献的一个非常有价值和非常受欢迎的补充。审核人：Werner Kleinert（柏林） 引用于1审查引用于32文件 MSC公司： 30-01 关于复变量函数的介绍性说明（教科书、教程论文等） 10层30 紧致黎曼曲面与均匀化 14H55型 黎曼曲面；Weierstrass点；间隙序列 14甲15 族，曲线模数（解析） 14小时40分 雅各宾派、普赖姆派 30摄氏度 特殊域的保角映射 关键词：黎曼曲面；全纯函数；代数曲线；德拉姆上同调；椭圆函数；椭圆积分；均匀化；函数行列式；模空间；变形 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛S.Donaldson｝，黎曼曲面。牛津：牛津大学出版社（2011；Zbl 1235.30001）