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无界域中体积泛函的集中现象:集中点的识别。 (英语) Zbl 1161.49305号

本文给出了变分问题最大化序列的一个集中结果\[S^F_\varepsilon(\Omega)=\frac{1}{\varepsilon^{2^*}}\sup\left\{\int_\OmegaF(u):\int_\ Omega|\nabla u|^2\leq\varepsion^2,u=0\text{on}\partial\Omega\right\},\]具有\(0\leqF(t)\leq\alpha|t|^{2^*}\)和\(\Omega\subset R^n\)(\(n\geq3\))的无界域。他们证明了集中发生在调和中心,即Robin函数(τ_Omega)的最低点。关键点是,由于\(\Omega\)可能是无界的,定义闭包\(\bar\Omega\)上的Robin函数,闭包取自\(R^n\)的单点紧化。扩展定义为\[\tau_\Omega(\infty)=\lim_{\varrho\to 0}\lim_{R\to\infty}\int_{x,y\in R^n|x|\geq R,|x-y|\leq\varrho}\bar H_\Omega(x,y),\]哪里\[\bar H_\Omega(x,y)=\liminf_{z\to y z\in\Omega}H_\欧米茄(x,z)\]使用格林函数的正则部分\(H_\Omega\)。这个定义给出了一个带(tau_\Omega(infty))的下半连续函数,它可以严格低于(tau_ \Omega\)的最大下半连续扩张。

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49J99型 变分法中的存在性理论与最优控制
35J20型 二阶椭圆方程的变分方法
35B40码 偏微分方程解的渐近行为
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全文: 内政部

参考文献:

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