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解椭圆型和抛物型方程的间断Galerkin方法。理论与实施。 (英语) Zbl 1153.65112号

应用数学前沿35.宾夕法尼亚州费城:工业和应用数学学会(SIAM)(ISBN 978-0-898716-56-6/pbk;978-0-871-744-0/ebook)。xxii,第190页。(2008年)。
本书的一个主要目的是介绍分析不连续Galerkin(DG)方法的基本工具。给出了稳定性和收敛性的详细证明。另一个目的是使读者熟悉DG方法的编码问题,如数据结构、局部矩阵的构造和全局矩阵的组装。本文提供了工程问题的几个重要计算示例。
第1-4章涉及DG方法及其分析的一般介绍。DG方法不符合要求,即。(多项式的)测试空间是全局不连续的,并且不是解空间的元素,就像在一致Galerkin方法的情况下一样。在DG方法的变分公式中,沿基础域三角剖分的边或面的不连续性导致跳跃贡献,即所谓的惩罚项。有不同的方法来考虑罚项,分别导致对称内部罚Galerkin方法(SIPG)、非对称内部罚Galerkin方法(NIPG)和不完全内部罚Galerkin方法(IIPG)。
第一章介绍了一维椭圆问题的DG方法,第二章介绍了高维线性椭圆问题的DG方法,并对其进行了分析。误差估计值以能量和(L^2)范数导出。给出了DG方法的实现细节和数值实验。第三章介绍了DG方法在线性抛物问题中的应用,包括时间连续和各种时间离散形式。在下一章中,使用对流项的迎风离散化,对带对流的抛物方程执行相同的程序。这两章还包括收敛性分析。
最后52页专门介绍了DG方法在线性弹性、Stokes流、Navier-Stokes流动和多孔介质流动中的应用。
本文包含DG方法分析中输入的函数空间的简要定义,并引用了一些需要的其他工具。在这些部分中,人们可以想到一些改进。在多项式域的空间(H^s(\Omega))和(H^ s(\partial\Omega\)的定义中,(s\geq 3/2)以及格林公式的应用都会出现问题。应说明跟踪运算符的连续性,而不仅仅是包含属性。在(L^p(0,T;V))空间的定义中,不仅需要可测函数,还需要Bochner积分。逆不等式取决于基础域的几何形状,不能像第3.1.5节那样简单地说明。
本书可推荐给感兴趣的读者,以便对DG方法的理论和数值基础及其可能的应用进行良好的介绍。

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