克里斯汀·劳特 [塞雷，J.-P。] 改进有限域上代数曲线上有理点数目上限的几何方法。J.-P.Serre的附录。 （英语。法语附录） Zbl 0982.14015号 J.Algebr。几何。 10，第1期，第19-36页（2001年）. 本文提出了三种改进有限域上曲线有理点个数上界的方法，所用的参数是曲线θ因子的不可分解性、伽罗瓦下降和Honda-Tate理论。在（mathbb）上定义的光滑、投影、绝对不可约曲线{F} （_q）\)若（N（C）=q+1+g[2\sqrt{q}]-k\），则属\（g\）具有“缺陷”\（k\）。如果（x_i=-（alpha_i+\bar{\alpha_i}），则上述曲线（C）具有类型为（（x_1，\dots，x_g）的Zeta函数，其中（{\alfa_i，\bar{\ alpha_i.}{i=1}^g）是作用于曲线雅可比矩阵的弗罗贝尼乌斯特征值的（g）共轭对族。Zeta函数的分子（P（t））由（x_i）决定，并且它属于集合（F_k:={t^d-a_1t^{d-1}+\cdots+a_d\in\mathbb{Z}[t]\）\（a_1=d+k\）并且所有根都是实的\（>0\}\），其中\（k=\sum_{i=1}^gx_i-g[2\sqrt{q}]\）。缺陷曲线（k\leq 6）和亏格曲线（g）的可能Zeta函数列表可以从论文中包含的（F_k）列表导入C.J.Smyth【《傅里叶年鉴》34，1-28（1984；Zbl 0534.12002号)]，但并不是列表中的每个值都对应于曲线的Zeta函数，作者对此引用了三个原因。利用这些信息，她得到了几个结果，例如，Ihara上界对达到Weil界的曲线亏格的推广，亏格1和亏格（g>2）曲线的不存在性，以及关于亏二曲线的一些结果。定理1表明，当亏格很小时，（q=2^3，2^5，2^{13}，3^3，3^5，5^3，5^7）不存在缺陷零曲线。这个定理的证明使用伽罗瓦下降法来产生一个{F} （p）\)-曲线的结构，由于Serre，详细信息在附录中给出。在定理2中，作者利用Honda-Tate理论，得出了当（q=2^{2s}），（s>1）时亏格两条曲线不存在的结论，并给出了一个例子，其中定理导致了边界的改进。当亏格较大时，显式公式边界迫使最大曲线有大于2的缺陷，在这种情况下，使用Serre的可能Zeta函数推导列表生成一些更高缺陷情况下的可能Zeta函数列表，作者在定理3中表明，在某些情况下，例如，（q=3）、（g=5）、（N=14）、缺陷5或（q=30）、（g=7）、（N=17）、缺陷8等，显式公式的界的最佳形式不能满足。审核人：米里亚姆·阿卜杜恩（里约热内卢） 引用于2评论引用于22文件 MSC公司： 14G05年 理性点 14国集团10 Zeta函数和代数几何中的相关问题（例如Birch-Swinnerton-Dyer猜想） 14国集团15 代数几何中的有限地面场 2014年11月 代数数；代数整数环 14H25号 曲线的算术地面场 关键词：有理数;伽罗瓦血统;有限域上的曲线;θ除数;本田州理论;Frobenius的特征值;曲线的Zeta函数;曲线缺陷 引文：Zbl 0534.12002号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.Lauter}，J.Algebr。地理。10，第1号，19--36（2001；Zbl 0982.14015）