A.贝林森。；Deligne，P。 关于多对数和调节器的Zagier猜想的动机解释。（解释Zagier依赖多对数和规则猜想的动机。） （法语） Zbl 0799.19004号 Jannsen，Uwe（编辑）等人，《动机》。1991年7月20日至8月2日在美国华盛顿州西雅图华盛顿大学举行的动机夏季研究会议记录。普罗维登斯，RI：美国数学学会。程序。交响乐团。纯数学。55，第2部分，97-121（1994年）。 对于光滑（mathbb{Q}）-格式（S），Beilinson猜想与调节器映射的研究有关\[\text{reg}:\bigl（K_{2k-1}（S）\otimes\mathbb{Q}\bigr）^{（K）}\to\text{Ext}^1_{S，\]其中，（K_i（S）otimes\mathbb{Q}^{（j）}）（Beilinson称之为动机上同调）表示Adams运算下的混合Hodge结构的（K^j）特征空间\)（可以用Deligne-Beilinson（或绝对Hodge）上同调来确定）。特别是，如果对一个数字字段（F）使用\（S=\text{Spec}（F）\），那么对于\（F）的每一个复杂嵌入\（\sigma\）都会得到一个调节器映射\[\text{reg}^\西格玛：K_{2k-1}（F）\to\text{Ext}^1_{S（\mathbb{C}）}\bigl（\mathbb{Q}（0），\mathbb{Q}（K）\bigr）=\mathbb2{C}/（2\pii）^K\mathbb-Q}\]它不依赖于\（i）的选择，因此\（\text{reg}^{overline\sigma}（x）=\text{reg}^\sigma（x）^-\）。传递到\（mathbb{R}\）-Hodge结构，对于\（F\）的每个复杂嵌入\（\sigma \），\[\文本{reg}^\sigma_\mathbb{R}:K_{2k-1}（F）\to\mathbb2{C}/（2\pi i）^K\mathbb{R}@>\sim>>i^{K-1}\mathbc{R}\]这样\（\text{注册}_\mathbb{R}^{上划线\sigma}（x）=\text{reg}^\sigma_\mathbb{R}（x）^-\）。Zagier猜想将这个调节器与他的高倍对数（D_k）联系起来：如果（Li_k（z）），（z-in-mathbb{P}^1（mathbb}C}）setminus，{0,1，infty}），表示序列的多值解析延拓对数\（D_k（z）\)定义为\（D_k（z）=\text{回复}_k（\sum_{\ell=0}^{k-1}b\ell{\log（z\overlinez）^\ell\over\ell！}Li_{k-\ell}（z）），其中\（\text{回复}_k=\text{回复}\)当\（k\）是奇数且\（\text{回复}_当\（k\）为偶数时，k=i\text{Im}m\）。\（b_\ell\）是伯努利数。（D_k\）是实单值函数，在\（\mathbb{P}^1（\mathbb{C}）\setminus\{0,1，\infty\}\）上进行实解析。它们在所有\（\mathbb｛P｝^1（\mathbb｛C｝）\）上是连续的，并且\（D_k\）相对于\（z\mapsto 1/z\）或\（z\mapsto \overline z\）是\（（-1）^｛k-1｝\）对称的。此外，它们应该满足“干净”的函数方程。Zagier猜想现在是一个由猜想（（C_k），（k=1,2，点）组成的迭代系统，其中在（C_k）中定义了一个（mathbb{Q}）-向量空间（{mathcalL}^k），一个映射（{k:F\ to{mathcal L}^k\），一种同态（d_k:{mathcallL}^k\ to楔形^2（oplus{ell=1}^）{k-1}{\mathcal L}^\ell）和（\varphi_k:\text{Ker}（d_ k）\hookrightarrow k_{2k-1}（F）\otimes\mathbb{Q}），其中\（{\mathcal L}^1=F^\times\otimes \mathbb{Q}\），\（\{\}_1:x\mapsto（1-x）\）其中\（x）\ \（F^\times\otimes\mathbb{Q}\）。对于（k\geq 2），我们定义了由符号自由生成的（x\}_k^\sim\）、（x\in F-\{0,1\}\）和\[\widetilde d_ k:\widetilde{\mathcal L}^k\ to{\matchcal L}^{k-1}\otimes{\mathcal L}^1\to\wedge^2\Bigl（\oplus_{\ell=1}^{k_1}{\mathal L}^\ell\Bigr），\]由（x）k给出。现在这个猜想说明了地图的存在\[\widetilde\varphi_k:\text{Ker}\bigl（\widetilde d_ k:\widetelde{\mathcal L}^k\ to \wedge^2（\oplus_{\ell=1}^{k-1}{\matchcal L}^\ell）\bigr）\ to k_{2k-1}（F）\otimes\mathbb{Q}\]这样，对于（F）和任何（x=sum\lambda_\alpha\{x_\alfa\}k^\sim\in\text{Ker}。如果保持一个定义\（{\mathcal L}^k:=\widetilde{\mathcal L}^k/\text{Ker}（\widetilde\varphi_k）\），则通过传递到商来定义\（\{\}\）、\（d_k\）和\（\varphi_k\）。Zagier猜想（varphi_k）是满意感的。这一点在基础文件中没有讨论。如果\（{mathcal L}\）表示\（{mathcal L{^i）的和，则\（（{mathcal L}，d）\）成为分次李余代数。基础文章的目的是证明Zagier的猜想来自于一个合适的tannakian（\mathbb｛Q｝\）-线性范畴（｛\mathcal T｝（s）\）的存在，该范畴在\（s）上具有所谓的混合泰特动机。对于变化的\（S\），\（{\mathcal T}（S）\）应该是一个堆栈。每个\（{mathcal T}（S）\）都应该包含一个秩为1的固定可逆对象，即Tate对象\（\mathbb{Q}（1）\），这样，\（{mathcal T{（S。应该有\（\operatorname{霍姆}_{{mathcal T}（S）}（\mathbb{Q}（0），\mathbb2{Q}（k））=\mathbb{Q}\）代表\（k=0\），否则=0，以及\（\text}^1_{mathcalT}。对于\（k\geq1），应该有一个同构\（alpha:（k_{2k-1}（S）\otimes\mathbb{Q}）^{（k）}@>\sim>>\text{Ext}^1_{mathcalT}（S）}（\mathbb{Q}（0），\mathbb2{Q}（k））\）。这相当于存在（{mathcal T}（S）\）的每个对象\（M\）的唯一有限递增过滤\（W\），为了方便起见，可以用偶数整数索引，这样\（text{Gr}^W_{-2k}（M）\）是\（mathbb{Q}（k）\）副本的总和。函子\（M\mapsto\text{Gr}^W（M）\）是精确的。对于（mathbb{R}）的代数闭包（C\），从（{mathcal-T}（S）\）到（S（C）\）上混合Hodge结构的变式范畴，应该有一个张量函子“实”，称为实现。这种实现应该与\（C\）中的基更改和函数兼容。泰特动机（mathbb{Q}（1））应该被映射到泰特霍奇结构（mathbb{Q}1）。调节器映射通过\（\alpha\）：reg=real\（\circ\alpha \）实现关联。对于\（S=\mathbb{P}^1\setminus\{0,1，\infty\}\），我们要求存在由\（text{Sym}^{（N-1）}（[z]）（1））构成的\（mathbb}Q}（0）的\（_0{mathcal M}^{（N）}\）的射影系统，其中对于\（f\ in{mathcal-O}^times（S）\），（的实现）\（[f]\）对应于扩展由\（mathbb{Q}（1）\)由矩阵给出。根据定义，\（_0{\mathcal M}^{（1）}=[1-z]\）。人们可以用（oplus_1^N\mathbb{Q}（k））来识别\（\text{Gr}^W\text{Sym}^{N-1}（[z]）（1）\）。事实上，我们可以用这些猜想中稍微弱一点的形式来处理Zagier的猜想，特别是可以取\（s=mathbb{P}^1\setminus\{0,1，\infty\}\）或\（s=文本{Spec}（F）\）。一个为\（{mathcal T}（text{Spec}（F））\）写入\（{mathcal T}（F）\）。本文分为四个部分。在第一种方法中，通过（log（z）和（Li_k（z））确定的（mathbb{Q}）-（或（mathbb{R}-）混合Hodge结构（{mathcalM}^{（N）}）在（S=mathbb}P}^1\setminus\{0,1，infty}）上的显式变化，使得唯一的非零Hodge数是（h^pp}\），\（P\In\mathbb{z}\）。这种变体被称为泰特混合变体。\（{mathcal M}^{（N）}\）不依赖于\（i\in\mathbb{C}\）的选择，它们在\（N\）中形成一个投影系统。它们可以被证明是实现系统的霍奇分量，如基本群（mathbb{P}^1\setminus\{0,1，infty\}）的动力形式主义所定义。此外，还证明了实际的混合Hodge结构（{mathcal M}^{（N）}_z），（z-in-mathbb{P}^1（mathbb}C}）setminus，{0,1，infty}）由Zagier的多对数（D_k（z）），（k=1，dots，N）刻画。在第二节中，应用tannakian形式主义将\（\｛z\｝_k\）构造为由tannakian范畴的纤维函子（｛\mathcal T｝（S）\）确定的分次李协代数Lie（U^\vee）的\（k\）-分量（Lie（U^\vee）^k\）的元素。主要结果可以表述为：Lie余代数（varphi:{mathcal L}to（text{Lie}U）^vee）存在一个与（{k\）相容的单态，因此Zagier猜想适用于定义为复合的（varphi_k\）\[\text{Ker}\bigl（\widetilde d_ k:\widetelde{mathcal L}^k\到\wedge ^2\oplus_1^{k-1}{mathcalL}^ell\bigr）@>\varphi>>\text{Ker}\ bigl，\]其中最后一个\（\text{Ker}（d）\）可以表示为等于\（\text{Ext}^1_{mathcal T}（F）（\mathbb{Q}（0），\mathbb{Q}（k））=k_{2k-1}（F）\otimes\mathbb2{Q}\）（根据假设）。通过（widetilde\varphi_k:\widetilde{\mathcal L}^k\to（\text{Lie}U^\vee）^k\）、（\{z\}_k^\sim\mapsto\{z\}_k\）归纳定义了\（\varphi_ k\）。前面提到的纤维函子（ω）在分次（mathbb{Q}）向量空间中取其值，并由（ω（M）_k=operatorname定义{霍姆}_{{mathcal T}（S）}（\mathbb{Q}（k），\text{Gr}^W{-2k}（M）），和\（\omega（M）=\oplus\omega（M）_k\）。类别\（｛\mathcal T｝＝｛\mathcal T｝（S）\）等价于群方案的表示类别\（G=\underline｛\operatorname｛Aut｝｝^\otimes（\omega）\），分级意味着\（G\）是\（\mathbb）的半直积{希腊}_m\），具有前幂群方案\（U\）；实际上，\（G\）是\（mathbb）的投影极限{希腊}_m）和幺正代数群系统（U_\alpha）。通过对偶并取归纳极限，我们得到了一个分次Lie余代数（（（text{Lie}U^\vee），d），其关键性质是带有（de=0\）的\（e\in（text{Lie}U^\ve）^k\）对应于带有\（mathbb{Q}（0）\）的扩展。对于\（M\ in{mathcal T}\）、\（x\ in \omega（M）_i\）、（y\ in \omega（M）_ j^\vee））和\（k=j-i\），我们通过\（c_{y，x}（U）=langley，ux\rangle\）、此类系数的线性组合在\（d）下消失将\（mathbb{Q}（0）\）扩展为\（mathbb{Q{（k）\）。然后在（\text｛Lie｝U^\vee）^k\中定义了\（\｛z\｝_k:=c｛y，x｝\），并证明了\（\text｛Lie｝U^\vee）^k\中的\（\｛z\｝_1=（1-z）\）和\（d\｛z\｝_k=\｛z\｝_｛k-1｝\wedge（z）\）。现在，将（F）的复合嵌入到（mathbb{C}）中会导致（{mathcalT}（F））的实现函子“real”嵌入到（mathbb{Q}）-混合Tate结构中，即，只有（h^{pp}\neq0）的（mathbb{Q}\）-混合Hodge结构。回到底层的实结构，我们得到了一个实现函子“real”（_\mathbb{R}），它的值属于tannakian范畴中的混合Tate结构。对这种结构的描述导致了（mathbb{R}）混合Tate结构范畴与配备元素的实分次向量空间范畴（N_k\in\text{GL}（\omega_\mathbb}）\otimes\mathbb{C}）、（k\geq1\）的度（k\）和奇数（k\而对于偶数\（k\）则是纯想象的。对于\（M={mathcal M}_z\），\（z\ in F\setminus\{0\}\），我们得到了结果\（langle N_k\），\{z\}_k\rangle=-D_k（z）\）。最后，我们观察到，对于通过定义（x in omega（E）_0）和（y in omega k-1}（F）\otimes\mathbb{Q}\）。在第三节中，明确讨论了使用线性形式（c_{y，x}）的原理，特别是从（U）表示系数导出的它们的起源。在最后一节中，我们将展示Zagier猜想是如何被解释为一个复杂猜想的真实形式的，这个复杂猜想也隐含在原动力形式主义中。有关整个系列，请参见[Zbl 0788.00054号].审核人：W.W.J.Hulsbergen（布雷达） 引用于7评论引用于32文件 MSC公司： 19层27 埃塔尔上同调，高等调节器，zeta和（L）-函数（（K）-理论方面） 33E20型 由级数和积分定义的其他函数 14A20型 泛化（代数空间、堆栈） 关键词：监管机构；多对数；泰特的动机多种多样；Deligne-Beilinson上同调；贝林森猜想；混合霍奇结构；扎吉尔猜想 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{A.Beilinson}和\textit{P.Deligne}，程序。交响乐团。纯数学。55，97——121（1994年；兹bl 0799.19004）