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关于布鲁默·斯塔克猜想。 (英语) Zbl 1525.11128号

L.Stickelberger公司[数学年鉴37、321-367(1890;JFM 22.0100.01标准)]计算了分圆域中高斯和的理想因式分解。当\(K\)是\(mathbbQ)的阿贝尔扩张时,Stickelberger的结果产生了\(mathrm{Gal}(K/mathbbQ\))的群环的一个元素,该元素湮灭了\(K)的理想类群。答:。布鲁默根据zeta函数的特殊值给出了一种解释,并对完全实数域的阿贝尔扩张猜想了一个类似的结果。J。泰特将这一猜想与H.斯塔克关于与\(L\)-级数的值相关的单位的存在性的猜想相结合,产生了所谓的布鲁默·斯塔克猜想。本文证明了这一猜想,直到第二部分。
下面是对结果的更精确描述。这篇论文的引言写得很好,可以提供更多的细节和动机,强烈推荐。设(F)是一个完全实数域,设(H)是(F)也是一个CM域的有限阿贝尔扩张,设(G=mathrm{Gal}(H/K))。设\(S,T\)是\(F\)与\(S\)不相交的有限个位置集,其中包含\(F_)的无限个位置集\(S_{infty}\)。对于(G\)的字符\(\chi\),\(\ch\)的\(S\)-耗尽,\(T\)-平滑\(L\)-函数为\[L_{S,T}(\chi,S)=L(S,\chi)\prod_{\mathfrak p\in S\setminus S_{\infty}}(1-\chi(\mathbrak{p})N\mathfrak{p}^{-S})\prod_{mathfrakp\in T}。\]Stickelberger元素\(\Theta_{S,T}\in\mathbbQ[G]\)满足\[\chi(\Theta_{S,T})=L_{S、T}(\chi^{-1},0)\]对于所有\(\ chi\)。现在假设\(S\)还包含在\(H/F\)中分支的\(F\)的素数集,并假设\。然后是\(Theta_{S,T}\in\mathbbZ[G]\)。设\(Cl^T(H)\)是\(H)的射线类群,导体等于\(T)中的素数以上的素数的乘积。本文的主要定理如下:\[\泰塔{S,T}{安}_{\mathbb Z[G]}(Cl^T(H))\tomes\mathbb Z[\frac12]。\]事实上,作者证明了M。Kurihara,将(Theta{S,T})作为对偶(Cl^T(H))负部分的拟合理想的一个元素进行了扭曲,并根据Stickelberger元素获得了该拟合理想的精确公式。由此,他们推断出K.鲁宾高阶泛化[Ann.Inst.Fourier 46,No.1,33-62(1996;Zbl 0834.11044号)]Brumer-Stark猜想。
证明的起点是K。Ribet证明了Herbrand定理的逆,并由A。怀尔斯(Wiles)在《岩川主猜想》(Iwasawa Main Conjecture)中为完全真实的领域所做的工作。然而,本文的一个关键点是,尖点形式和Eisenstein级数之间的同余比预期的更强,并且是由(p)-adic(L)-函数的平凡零点引起的。

MSC公司:

11兰特23 川川学说
11兰特29 类号、类群、判别式
11年42日 Zeta函数和数字域的(L)-函数
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