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Deligne，P。

驯服的象征。（Le symbol e modéré.） （法语） Zbl 0749.14011号

出版物。数学。，上议院。科学。 73, 147-181 (1991).
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设（X）是一个具有全纯结构层的复解析簇。同样，设（G）是一个交换复解析群\（G（\mathcal O）\）将表示\（X\）上的全纯\（G\）值函数的簇，并且\（G（\mathbb C）\）是常数簇\（G\），即\（X\）上的局部常数函数的簇。特别是对于\（G=\mathbb{希腊}_m），则有（G（mathcal O）=mathcal O^*），即（X）上可逆全纯函数的层。
本文的出发点是在\（X）上阿贝尔群的带轮导出范畴中构造一个态射，\[\mathcal O^\ast\overset{\mathbb{L}}\otimes G（\mathcal O）\longrightarrow[G（\mathcal O，）\longlightarrow\Omega^1\otimes\mathrm{Lie}（G）]_{-1,0}（1），\tag{1}\]其中下标\（-1,0）表示复数以度\（-1）和\（0）表示，其中（1）表示泰特扭转。使用拟同构\（[\mathbb{Z}（1）\longrightarrow\mathcal O]{-1,0}\overset{\sim}{\longright arrow}\mathcalO ^\ast\），这相当于定义\[[{\mathbb{Z}}（1）\longrightarrow{\mathcal O}]_{-1,0}\otimes G（{\mathcal O}）\longlightarrow[G。\标记{2}\]对于\（{mathbb{Z}}（1）\otimesG（{mathcal-O}）\longrightarrowG（{mathcal-O}）（1 ^1（1）^{-1}差分\)。对于（1）的上同调，可以得到态射\[H^i（X，{\mathcal O}^*）\otimes H^j（X，G（{\mathcal O}））\longrightarrow{\mathbb{H}}^{i+j}（X，[G（{mathcal O}）\longlightarrow\Omega^1\otimes\text{Lie}（G）]_{-1,0}（1）））。\标记{3}\]特别地，对于\（i=j=0\），得到了全纯\（G（1）\）–的同构类托索尔带有与元素（在{mathcal O}^*\中为f\）和g（在{mathcal O{中为g\）关联的连接\（nabla\）。使用由\（f）的对数给出的辅助数据写入代表的\（f，g]\），即，选择\（log f）给出\（f、g]\的简化\（{log f，g}\）。一个有\（nabla\{logf，g\}=\frac{1}{2\pii}\logf\cdotg^{-1}差分\)，（\{\log f+n\cdot 2\pi i，g\}=\{\log f，g\{\cdot g^n），对于\（f，g]\）的曲率，我们可以找到\（R=\frac{1}{2\pii}\cdot\frac{df}{f}\wedge g^{-1}dg\in\Omega^2\otimes\text{Lie}（g）\）。
假设（X）是黎曼曲面（Sigma）。对于\（x\in\ Sigma\）、\（f\）在\（\ Sigma-\｛x\｝\）和\（g:\Sigma-\｛x\｝\longrightarrow g\）上可逆，可以将（2）与\（x\）中的残差映射组合，得到\（（f，g]_x\ in g（\mathbb C）\）。在选择了\（i\in\mathbb C\）之后，这就给出了\（x）周围有向圆\（S\）上的\（f，g]_S\）的单值。特殊情况包括（i）（G=mathbb G_a）和（ii）（G=mathbb G_m）。在（i）中可以找到\（f，g]_x=\frac{1}{2\pii}\point\frac{df}{f} 克=\mathrm{资源}_x\左（\frac{df}{f}\cdot g\右）；在（ii）\（（f，g）_x\）中，也传统上写为\（（f，g）x\），成为驯服的象征：\（（f，g）_x=（-1）^{v（f）v（g）}\left[g^{v。对于\（G=\mathbb G_m\），乘积\（\mathcal O^\ast\overset{\mathbb-L}{\otimes}\mathcall O^\ast\rightarrow[\mathcol O^\last\xrightarror{df/f}\Omega^1]（1）\）定义了\（\mathbb Z（1）_{\mathcal-D}\otimes \mathbbZ（1 2）{\mathcal D}\），从而导致了在这种情况下，根据混合Hodge结构的（变化），对连接着（（f，g]）的（mathcal O^ast（1））–（或（mathcalO/（2\pi i）^2{mathbbZ}）–torsor的解释。这个torsor（（f，g）与X上的全纯族相反，X上的混合Hodge扩张是由（mathbb Z（1））、（mathbbZ（2））和（mathbb2 Z（0））的迭代混合霍奇扩张。混合Hodge结构的这种变化定义了\（f，g）\的水平截面，反之亦然。一个很好的例子是\（X=\mathbbP^1（\mathbb C）\setminus\{0,1，\infty\}\），\（f=1-z\）和\（g=z\）。\（（1-z，z）\）的平凡水平截面由\（\｛\log（1-z），z\｝+\mathrm给出{李}_2（z），其中\（\mathrm{李}_2（z）是双对数函数。选择\（\log（1-z）\）决定\（\mathrm{李}_2（z）至（2\pi i）^2\mathbb z）。
此外，符号\（f，g）\具有与\（K）理论中的符号相对应的双乘性和对称性，例如，\（f、g）+（g，f）\）被\（{\log f，g\}+\{\logg，f\}-\log f\log g\）简化，在\（\mathbb P^1（\mathbb C）\setminus\{0,1，\infty\}）的例子中，它由双对数的关系反映出来：\[\马特姆{锂}_2（z） +\马特姆{锂}_2（1-z）+\log（z）\log[1-z）=\zeta（2）=-{（2\pii）^2/24}。\]（f，g）的上述结构可以如下扩展：设（Lambda_1）和（Lambda _2）是有限生成自由模的局部系统，设（B:Lambda_ 1\otimes\Lambda_2\longrightarrow\mathbb Z\）是双线性形式。这就产生了一个态射（（Lambda_1\otimes\ mathcal O^\ast）\overset｛\mathbb L｝｛\otimes｝（\Lambda_2\otimes\mathcal O^\ast）\longrightarrow\mathcal O^\ast\overset｛\mathbb L｝｛\otimes｝\mathcal O^\ast\），与（1）组合表示\（G=\mathbb G_m\），导致\[（\Lambda_1\otimes\mathcal O^\ast）\overset{\mathbb L}{\otimes}（\Lamda_2\otime\mathcal O ^\ast）\longrightarrow[\mathcall O^\ast\longrightarrow\Omega^1]（1）。\标记{4}\]对于（Lambda_1\otimes\mathcal-O^\ast）的段\（f\）和（Lambda _2\otimes \mathcal O^\ ast）中的段\（（f，g）的{\log f，g\}_ B\）\)属性类似于上面的\（f，g）\的\（{\logf，g\}\）。
同样，通过选择（i in mathbb C）和定向圆（S），可以计算（S）上的单值函数（（f，g）-S）。设\（T:\tilde{S}\longrightarrow\tilde}S}\），其中\。然后，对于（Lambda_1\otimes\mathcal O^*）的局部常数全局段和。此外，如果（λ1）和（λ2）是对偶的，并且（T）没有本征值（1），则（S）上的（λi\otimes\mathcal O^*）的局部常数全局截面形成一个有限群（i=1,2），符号（f，g）_S定义了这些群之间的Pontrjagin对偶性。
我们可以进一步削弱圆（S）上的（f）和（g）的正则性。证明了可以取Sobolev空间（mathcal O_s）和（mathcalO_t），（s+t\geq1），以及（s）上有限生成的（mathbb Z）–模的局部系统（Lambda），用对偶（Lambda^{vee}）得到一个配对（（mathcar O^*s\otimes\Lambda（s）\长右箭头\mathbb C^*\）。特别地，对于\（s+t=1\），配对\（（f，g）_s\）扩展为配对\[（\mathcal O^*_s\otimes\Lambda）（s）\otimes（\matchcal O^*_t\otime\Lambda^{\vee}）（s）\longrightarrow\mathbb C^*，\]使这两个因素卡地亚相互对偶。格\（s=\frac{1}{2}\）将用于构造由\（mathcal O^*{1/2}\otimes\Lambda）（s）\）与\（mathbb C^*\）的中心扩张所定义的海森堡群。我们需要一些初步结果。首先，设（Sigma^0）是具有（非空）边界（部分）的Riemann曲面（Sigma）的内部，并设（j:\Sigma ^0\hookrightarrow\Sigma\）包含。对于（Sigma）上的层，写入（mathcal O_s），（s），等于（j_*mathcal O\）的子层，该子层由全纯函数组成，全纯函数的值在（partial\Sigma中），（与圆（s_{alpha}）（j中的alpha）相连）。一般来说，边界上的Sobolev空间（mathcal O_s）（部分Sigma），即。在\（S_{\alpha}\）上，不等于后者\（mathcal O_S）对\（partial\Sigma）的限制。此外，一个定义\（\mathcal O^*_s\）乘以精确的指数序列\（0\longrightarrow2\pi i\mathbb Z\langrightarrow\mathcal O_s\longrightarrow\mathcal O^*_s\longrightarrow0\），也在边界上\（\mathcal O^*_s=\mathcal O_s/2\pi i\mathbb Z\）。我们证明了，在\（Sigma）是紧的情况下，截面\（H^0（\partial\Sigma，\mathcal O^*s\otimes\Lambda）中的f是对\（\Sigma\）上的\（mathcal O ^*s\ otimes\ Lambda\）的截面的\（partial\ Sigma，一个有\（f，u）{\partial\Sigma}=\prod\alpha}（f，u）{S_{\alpha}}=1\）。
取\（s=\frac{1}{2}\），设\（B\）是\（Sigma\）上局部系统\（\Lambda\）上的正定双线性形式。然后，对于H ^0（偏序Sigma，mathcal O^*{1/2}\otimes\Lambda）中的\（f），\（B）导出一个内积\（B（，）{偏序\Sigma}\），其中一个表明，如果\（f（B（f，\overline{f}）_｛\partial\Sigma｝\geq 1\），当且仅当\（u\）是局部常数。这源于二维流形（带边界）（Sigma）上具有连接的线束曲率的显式表达式。
对于带边界的紧（Sigma），设（L}）是（Sigma\）上的层（Lambda\otimes\mathcal O^*{1/2}），并对（Sigma-\。因此，将\（\text{L}（\Sigma）\）限制为\（\partial\Sigma\！此外，假设一个偶数对称双线性形式（B:\Lambda\otimes\Lambda \longrightarrow\mathbb Z\）和由（\mathcal O^*{infty}）给出的\（\Lambda \）的中心扩张\（E\）。换向器\（x，y）=xyx^{-1}年^{-1}:E\times E\longrightarrow E\）因子超过\（，）：\Lambda\times\Lambda \longright arrow\mathcal O^*_{\infty}\）。假设对于两个局部段\（\lambda\），\（\lambda\。有人想构造一个中心扩展，将其拆分为\（\text{L}（\Sigma）\），即。一海森伯群，形式如下：
\[\开始{tikzcd}1\ar[r]&\mathbb{C}^\ast\ar[r]&\mathrm{L}（\partial\Sigma）^{\sim}\ar[r]&\mathrm{L}（\ partial\ Sigma。\标记{5}\]
这就足以限制到\（\部分\西格玛\）的连接组件（定向圆）\（S\）。设（L}）是（S）上的群的层，设（a）是阿贝尔群（常层）。一个定义了中央分机的\（\text{L}\）堆栈of \（A\）–torsors作为gerb公司\（{mathcal G}（h）\）由\（A\）绑定，对于\（text{L}\）的每个局部段\（h\），具有自然兼容性属性。对于\（\text｛L｝\）的两个部分\（h1\），\（h2\），将换向器\（（h1，h2）{mathcal G}），是（{mathcal G}（（h_1，h2））的对象。
对于全局段（h），gerb（mathcal G（h））定义了一个（a）-torsor（displaystyle\int_S{mathcal G}（h）：（mathcalG（h。这种结构通过（a）定义了\（mathrm{L}（S）\）的中心扩展，在格罗森迪克的解释中写成\（displaystyle\int_S{mathcal G}\）。由\（显示样式{\int_S{\mathcal G}}\）、\（显示类型{\text{L}（S）\times\text{L}（S）\longrightarrow\int_S}\mathcalG}}\）定义的换向器与\（{\matchcal G}（h_）中\（h_1，h_2）{\matHCalG}\）的同构类的\（h_ 1，h_），\（h_2）1，h 2））。
为了在（\Sigma）和（\partial\Sigma\）上实际构造（{\mathcal G}），引入了一组辅助数据（{\mathcal K}）来定义（{\mathcal G{（h）\）的简化。这里输入双线性形式\（B\）。交换子的最终结果与（{mathcal K}）无关：（i）（（h_1，h2）{mathcalG}=B（h_1,h2））；（ii）通过（{mathbb{C}}^*\）对\（text{L}（S）\）的中心延伸，\（h_1，h2）=B（h_1,h2）_S\）。对于正定\（B\），\（h_1\in\text{L}（\Sigma）\）和\（h_2=\上划线{h}（小时）_1），一个通过\（*）\，\（h_1，\上划线获得{h}（小时）_1）\geq 1\）。
审核人：W.W.J.Hulsbergen（布雷达）

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MSC公司：

第14页，共99页 代数几何中的（Co）同调理论
14H55型 黎曼曲面；Weierstrass点；间隙序列
14层20 Etale和其他Grothendieck拓扑和（co）同调
14层30 关于品种或方案的小组行动（商）
30F99型 黎曼曲面
2007年4月14日 霍奇结构的变化（代数几何方面）
14C35号 代数（K）理论方法在代数几何中的应用

关键词：

驯服的象征；托索；连接；gerb公司；海森伯群；可逆函数层的中心扩张；韦尔互易定律；混合霍奇结构；Bejlinson-Deligne上同调；堆栈
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\textit{P.Deligne}，出版物。数学。，上议院。科学。73、147--181（1991年；Zbl 0749.14011）
全文： 内政部 Numdam编号 欧洲DML

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