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光滑四流形的多项式不变量。 (英语) Zbl 0715.57007号

光滑流形的经典不变量对于高维流形的分类是如此成功,但对于光滑4流形的划分却并不有效。在20世纪80年代初,作者引入了4流形研究的全新方法,使用Yang-Mills和规范理论来获得对光滑4流形相交形式的限制[J.Differ.Geom.18,279-315(1983;兹比尔0507.57010)]. 经典不变量无法检测到这些限制。Yang-Mills方程依赖于基础4流形的黎曼几何;然而,解的模空间的某些同调性质在度量的连续变化下是不变的。由于任何两个度量都可以通过一条路径连接,因此这些同调性质仅依赖于底层的光滑流形,并提供潜在的新的微分拓扑不变量。这一观点最初是在作者早期的开创性工作中发展起来的[同上26,141-168(1987;Zbl 0631.57010号)]. 对于相交形式的最大正子空间的秩为1的流形,定义了不变量。这些不变量可以区分同胚4流形上的不同光滑结构。稍后,R·弗里德曼J.W.摩根[同上,27、297–398(1988年;Zbl 0669.57016号兹伯利0669.57017)]和C.奥科内克A.范德文[发明数学.86,357–370(1986;Zbl 0613.14018号)]证明了这些不变量可以区分同胚4流形无穷族上的互异可微结构。
正在审查的文件扩展了这些想法。对于具有(b^2_+>1)和奇数的单连通光滑4-流形(X),作者定义了(X)的微分拓扑不变量(称为Donaldson不变量)的无限集,它们是(X)同调多项式环(S^*(H_2(X))的可分辨元素(q_{k,X}),(k\in{mathbb{Z}})。然后,他使用这些不变量获得关于代数曲面微分拓扑的壮观结果。最显著的结果是:
定理A.设(S)是一个单连通、光滑、复杂的射影曲面。如果(S)对两个有向4-流形的连通和是保向微分同胚的,则其中一个流形具有负定交形式。
这紧接着其他两个定理:定理B。假设\(X)是一个单连通的、有向光滑的4-流形,具有\(B^2_+)奇数,并且\(X \)是两个有向4-流形的连通和的保向微分,其中两个流形的\(B_2_+)是严格正的。然后,\(X\)的所有唐纳森不变量都消失了。
定理C.设(S)是单连通复射影曲面,(H)是(H_2(S)中的超平面类。那么对于足够大的\(k\),\(q_{k,S}(H,\dots,H)>0.)
这些结果令人印象深刻,他们的证明也是如此。这些证明是微分和代数拓扑和几何以及局部和全局分析的巧妙而严格的结合。本文是技术和思想的宝库,与作者在J.Differ上的论文一起。地理。24, 275–341 (1986;Zbl 0635.57007号)和新书P.克伦海默和作者[四流形的几何学,牛津:克拉伦登出版社(1990;Zbl 0820.57002号)]为光滑四流形的现代研究提供了不可或缺的资源。

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57N13号 欧氏空间、流形的拓扑(MSC2010)
第32页第15页 紧凑的复杂曲面
57兰特 微分拓扑中的可微结构
57兰特 微分同态的微分拓扑
57卢比80 \(h)-和(s)-配基
58J20型 流形上的指数理论及相关不动点定理
58J40型 流形上的伪微分算子和傅立叶积分算子
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全文: 内政部