西蒙·唐纳森。 复杂的曲线和手术。 (英语) Zbl 0696.57007号 出版物。数学。,上议院。科学。 68, 91-97 (1988). 四维拓扑的一个基本问题是在光滑四维流形中寻找表示给定二维同调类的闭曲面的最小亏格。复射影平面({mathbb{C}}P^2)中d次光滑代数曲线C的亏格是(d-1)(d-2)设h是\(h_2({\mathbb{C}}P^2)\)的标准生成器。R.Thom提出的一个基本猜想是:推测1。对于同调类为([\Sigma]=d.h),(d>0)的({\mathbb{C}}P^2)中任何光滑嵌入的定向曲面(\Sigma),我们有(属(\Sigram)\geq(d-1)(d-2)这个猜想的扩展是:猜想2。对于光滑复射影曲面S中的任何光滑复代数曲线C,以及与C同源的光滑嵌入定向曲面,我们得到了亏格((Sigma)geq亏格(C)研究4流形的许多早期技术都是试图找到代表给定同源类的曲面的最小亏格的结果。M.A.Kervaire先生和J.W.米尔诺【Proc.Natl.Acad.Sci.USA 47,1651-1657(1961;Zbl 0107.403)】表明,在\({mathbb{C}}P^2)中,3h不由球体表示,从而验证了\(d\leq3)的猜想1。W.C.乡和R.H.Szczarba先生【Proc.Symp.Pure Math.22,97-103(1971;Zbl 0234.57009号)]和V.A.罗克林【Funkts.Anal.Prilozh.5,No.1,48-60(1971;Zbl 0268.57019号)]使用G-签名定理来产生最小亏格的下界。最近,杨米尔理论的技术被应用于这些问题K.库加[拓扑23,133-137(1984;Zbl 0551.57019号)],R.芬图舍尔和R.J.斯特恩[数学年鉴,第二辑,第122、335-364页(1985年;Zbl 0602.57013号)],以及古田【关于orbifold上的伪自由自对偶连接,预打印】,以表明某些同源类不能用球体表示。利用弗里德曼的结果,L.鲁道夫[注释.数学Helv.59,592-599(1984;Zbl 0575.57003号)]已经表明,如果将“平滑嵌入”替换为“局部拓扑平坦”曲面,则猜想1为假。减少表示4流形S中给定同调类的曲面亏格的一种方法是在(H_1(Sigma))中用[\(\δ\)]非零激荡(\δ;也就是说,假设S中有一个边界为(δ)的嵌入2盘,其内部与(δ)不相交,并且(δ)中正规束的非零部分延伸到此盘上。然后,有一对不相交的平行圆盘,可以用来对(Sigma)进行突变,以获得代表与(Sigma\)相同同源类的低属曲面。本文的主要结果是表明,人们无法通过这种明显的方法获得对猜想2的反例。更准确地说:定理。设S是一个单连通的复射影曲面,C是S中的一条复曲线,其中伴随的全纯丛是充分的。那么就不可能在S中对C中的任何循环(delta)执行平滑操作(与零不同源)。这个定理是根据作者的惊人定理[Topology 29,No.3,257-315(1990)]证明的:定理。设Z是一个单连通的复射影曲面。如果Z可以分解为光滑连通和(Z=X\#(S^2乘以S^2)),则4-流形X具有负定交形式。审核人:R.斯特恩 引用于三文件 MSC公司: 57N13号 欧氏空间、流形的拓扑(MSC2010) 57兰特 差分拓扑中的嵌入 关键词:最小属;闭合曲面;同源类;光滑4-歧管;光滑代数曲线;杨美尔理论;负定交会形式 引文:兹伯利0107.403;Zbl 0234.57009号;Zbl 0268.57019号;Zbl 0551.57019号;Zbl 0602.57013号;Zbl 0575.57003号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{S.K.Donaldson},出版物。数学。,上议院。科学。68、91——97(1988年;Zbl 0696.57007) 全文: 内政部 Numdam编号 欧洲DML 参考文献: [1] Barth W.、Peters C.和Van de Ven A.,《紧凑复杂曲面》,柏林-海德堡,施普林格出版社,1984年·Zbl 0718.14023号 [2] Donaldson S.K.,光滑4-流形的多项式不变量,将出现在拓扑中。 [3] Fintushel R.和Stern R.,《伪自由Orbifold》,《数学年鉴》。,2, 122 (1985), 523–529. [4] Floer A.,3-流形的瞬子不变量,科朗研究所预印本,1987年·Zbl 0669.53022号 [5] Furuta M.,关于某些orbiofold上的自对偶伪连接,东京大学预印本,1985年。 [6] Friedman R.和Morgan J.W.,《代数曲面和4-流形:一些猜想和推测》,布尔。A.M.S.,18(1)(1988),1-19·Zbl 0662.57016号 ·doi:10.1090/S0273-079-1988-15576-0 [7] Friedman R.和Morgan J.W.,代数曲面的复杂分类与可微分类,哥伦比亚大学预印本,1988年。 [8] Griffiths P.A.和Harris J.,《代数几何原理》,纽约,John Wiley出版社,1978年·Zbl 0408.14001号 [9] 湘W.C.和Sczarba R.,关于4-流形中的嵌入曲面,Proc。症状。纯数学。,22 (1970), 97–103. [10] Kervaire M.和Milnor J.W.,《关于4流形中的2个球体》,Proc。美国国家科学院。科学。美国,47(1961),1651-1657·Zbl 0107.40303号 ·doi:10.1073/pnas.47.10.1651 [11] Kirby R.,低维拓扑问题,Proc。症状。纯粹。数学。,32 (1970), 273–322. [12] Kuga K.,表示S2中的同源类,拓扑,23(1984),133–137·Zbl 0551.57019号 ·doi:10.1016/0040-9383(84)90034-X [13] Mandelbaum R.,《四维拓扑:导论》,布尔。A.M.S.,2(1)(1980),1-160·Zbl 0476.57005号 ·doi:10.1090/S0273-0979-1980-14687-X [14] 罗琳V.,四维流形的二维子流形,泛函分析应用。,6 (1972), 136–138. ·Zbl 0259.14010号 ·doi:10.1007/BF01077517 [15] Rudolph L.,复射影平面中的一些拓扑局部平面,评论。数学。赫尔维蒂奇。,59 (1984), 592–599. ·Zbl 0575.57003号 ·doi:10.1007/BF02566368 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。