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克里斯蒂安·伯宁;格拉夫·冯·博思默（Graf von Bothmer），汉斯·克里斯蒂安

足够大的平面曲线模空间的合理性。 （英语） Zbl 1188.14009号

发明。数学。 179，第1期，159-173（2010）。
让\（G:=\text{SL}_3（{\mathbb C}），（上划线{G}:=\text{前列腺素}_3（{mathbb C}），（V={mathbbC}^3）是（G）的标准表示，（e_1，e_2，e_3）是（V）的正则基（mathbb C）和（x_1，x_2，x_3）的对偶基。对于任何正整数\（d\），设\（V（d）\）表示\（G\）的不可约表示\（\mathrm｛Sym｝^d（V^｛\vee｝）\）。在本文中，作者证明了商空间（text{Hyp}（d，2）：={mathbbP}（V（d））^{text{ss}}/\overline{G}）对（d\equiv1）（mod 3），（d\geq37）以及（d\ equiv2）（mod3）。将此结果与P.凯西洛[苏联数学，第64卷，第2期，375–381页（1989年；Zbl 0679.14028号)]断言\（text{Hyp}（d，2）\）对\（d\equiv0）（mod 3），\（d_geq1821）是有理的，就可以得到\（text{Hyp}（d,2）\。
证明的结构与N.I.牧羊人-巴伦【《数学写作》67，第1期，51-88（1988；Zbl 0661.14022号)]为了解决案件（d等价1）（mod 9），（d等价19），但证明的计算方面有很大不同。首先，Shepherd-Barron证明了商映射（{mathbbP}（V（4））^{text{ss}}\rightarrow{mathbb P}）是主体\（\上一行{G}\）-商簇的非空开放子集上的Zarisk拓扑中的束。然后使用符号法，由4次齐次多项式定义的\（d=3n+1）的\（G\）-等变映射\（S_d:V（d）\右箭头V（4）\）\（S_d\）已经出现在Shepherd-Barron的论文中。实际上，作者只需要从符号方法中观察到：对于三个不定项中的每一个度为（d）的齐次多项式，都存在唯一的（mathbb C）-线性函数（{ell}_P:V（d）右箭头{mathbb C}），使得_2，{\alpha_3}）\在{\mathbb C}^3中，其中\（{\alha}_x:={\alalpha}_1x_1+{\alfa}_2x_2+{\alpha}_3x_3\在V^{\vee}\中）。更准确地说，有一个公式：\[{\ell}_P=\frac{1}{d！}\，P\left（\frac{\partial}{\parialx_1}，\frac{\ partial{{\partalx_2}，\frac{\partic}{\protialx_3}\right）\；。\]对于｛\mathbb C｝^3\中的\（\alpha，\beta，\gamma，\delta\），作者考虑表达式：\[I=I（α，β，γ，δ）：=（α，γ）（α，δ）（α\]其中，\（（alpha\beta\gamma）\）是\（3乘3）矩阵与行\（alpha，beta，gamma\）的行列式。根据上述观察，对于\（d=3n+1），存在唯一的\（mathbb C\）-线性映射\（{widetilde S}_d:V（d）^{otimes 4}\rightarrow V（4）\），这样：\[{\widetilde S}_d（{\alpha}_x^d\otimes{\beta}_x*d\otimes{\gamma}_x_x^1\otimes{\delta}_x ^d）=I^n{\alfa}_x{\beta}_x{\gama}_x}_x\。\]\根据定义，（S_d）是由映射\（V（d）\右箭头V（d。对于（T_d）的定义，（d=3n+2）使用符号表达式（I^n{\alpha}_x^2{\beta}_x*2{\gamma}_x_2{\delta}_x2）。
现在，作者考虑了（d=3n+1）的线性子空间（L_S:=x_1^{2n+3}{mathbbC}[x_1，x_2，x_3]{n-2}\子集V（d bP}（L_S）}^3）（分别是}^3）包含有理映射基轨迹的理想层（S_d:{mathbb P}（V（d））\dashrightarrow{\mathbb P}（V（4））。他们推断，对于V（d）中的g不在（L_S）中（resp.，（L_T）），限制映射（S_d，|\，{mathbb P}（L_S+{mathbbC}g）\dashrightarrow{mathbb-P}。
证明的关键在于表明，在上述关于（d）的假设下，存在（g），因此上述线性映射是占优势的作者通过一些基本但巧妙的技巧，将这一事实的证明简化为使用计算机代数程序进行一些简单的计算。（文本{Hyp}（d，2））合理性的证明现在可以像Shepherd-Barron的论文一样完成了。
审核人：伊乌斯汀·科兰德（布库雷什蒂）

引用于1审查
引用于2文件

MSC公司：

14E08号 代数几何中的合理性问题
14甲10 族，曲线模（代数）
20年14月 理性品种和非理性品种
14L24型 几何不变量理论
20G05年 线性代数群的表示理论

关键词：

平面曲线;模空间;有理品种;符号方法;协变的

引文：

Zbl 0679.14028号;Zbl 0661.14022号

软件：

麦考利2;合理性
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{C.Böhning}和\textit{H.-C.格拉夫·冯·博思默}，发明。数学。179，第1号，159--173（2010；Zbl 1188.14009）
全文： 内政部 arXiv公司

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