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模1有理数的幂和有理基数系统。 (英语) 兹伯利1214.11089

设(p>q\geq1)为互素整数。在本文中,作者考虑了(p/q)-展开式中正整数的展开式,形式的展开\[N=\sum_{k=0}^\ell\frac{a_k}{q}\left(\fracpq\right)^k\]其中\(a_k\ in \{0,\ dots,p-1\}\)。他们能够通过递归计算(N_k)((k\geq0)),证明每个正整数(N\)都有唯一的有限(p/q)-展开式\[N_0=N\quad\text{和}\quad pN_k=qN_{k+1}+a_k。\]由于这种展开是从最低有效数字开始从右向左计算的,所以如何计算实数的展开就不那么明显了。然而,它们提供了一种算法,以从左到右的方式计算扩展,以获得固定的精度。然而,实数的扩张不一定是唯一的。
另一个研究点是这种扩展产生的数字语言。如作者所示,这种语言既不规则也不无上下文
最后,他们提供了一些在数论中的应用(即Mahler’s(Z)-数和Josephus问题),这些应用激发了对这个数字系统的进一步考虑。他们在这个方向上的一个结果考虑了模1的分布。特别是,他们能够证明存在可数无穷多\(z),这样\[\left\{z\left(\frac32\right)^n\right\}\in\left[0,\frac13\right[\cup\left[\frac23,1\right[\quad\text{for}n=0,1,2,\dots\]

MSC公司:

11路16号 正规数、基数展开、Pisot数、Salem数、好格点等。
11A63型 基数表示;数字问题
37B10号机组 符号动力学
70年第68季度 语言代数理论与自动机
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
全文: 内政部

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