岩崎、胜胜 多面体谐波的最新进展。 （英语） Zbl 0956.31003号 《应用学报》。数学。 60，第2期，179-197（2000）. 设（Omega\subset\mathbb{R}^n）是一个域，（mu）是具有紧支撑的概率测度。连续函数（f:\Omega\to\mathbb{R}）被称为具有\（\mu\）-均值性质，如果\（f\）满足，\[f（x）：=\int_Kf（x+ry）d\mu（y），\quad\对于所有x\in\Omega\text{和}0<r<r_x，\tag{1}\]其中，\（r_x\）是一个足够小的常数，对于每个\（r\），\（（x+rK）\子集\Omega\）。Flatto和Friedman-Littman提出了描述此类函数类的特征的问题，这将在后继中用（H_mu（Omega）表示。正在审查的论文以一些历史评论开始，其中弗里德曼-利特曼给出的结果在第2节中陈述。在剩下的第3节到第7节中，作者提供了一份关于（K）是（mathbb{R}^n）中的多面体情况的作品概览，重点介绍了他自己对这一主题的最新贡献。闭凸多面体是（mathbb{R}^n）中闭半平面的有限交集，它有界且内部非空。根据定义，（n）维多面体（P）是闭凸多面体的有限并。注意，这样的集合既不是凸的，也不是连通的。对于\（d=0,1，\点，\），设\（P（d）\）为\（P）的\（d）-骨架，即其所有维数\（<d）面的并集，\[m_d:={1\over\bigl|P（d）\bigr|}\mu_d，\tag{2}\]其中，\（mu_d\）是\（P（d）\）上的欧几里德测度，总质量用\（|P（d，|\）表示。设\（H_{P（d）}（\Omega）\）是\（\Omega\）中满足\（m_d\）-均值性质\（（=P（d。作者在第3节中讨论了由于他自己的原因导致的以下基本结果：（i） 限制映射\（H_{P（d）}（\mathbb{R}^n）\到H_{P（d）{（\Omega）\是同构的，因此\。（ii）\（H_{P（d）}（\Omega）\）是多项式的有限维线性空间。（iii）（H_{P（d）}（\Omega））的基可以从齐次多项式中取出来。（iv）设\（\delta=（｛d\ over dx_1｝，\dots，｛d\ over dx_n｝）\），则\（H_｛P（d）｝（\Omega）\）允许\（R[\delta]\）-模的结构，其中\（R[\delta]\）是具有常系数的（P.d.e）的环。（v） 如果（P）的完全对称群（G子集O（n））是不可约的，则（H_{P（d）}（Omega））是调和单项式的有限维空间。在第4节中，用（P.d.e.）描述了（P（d））-平均值特性。第5节专门讨论对称多面体的情况。结果表明，（H{P（d）}的维数与Coxeter给出的正则多面体的分类之间有着深刻的联系。在第6节中，作者从三角形的平均值性质开始，研究了没有对称性假设的多面体的情况。他声称接下来要考虑多边形或（n）维单纯形的情况。第七节讨论了作为R（delta）-模的（H_{P（d）}）结构的四个开放问题。审核人：宣乐阮（河内） 引用于三文件 MSC公司： 31B05型 高维调和、次调和、超调和函数 52号B11 \（n）维多面体 20层55 反射和Coxeter群（群理论方面） 31-02 与潜在理论有关的研究论述（专著、调查文章） 关键词：多面体谐波；平均值特性；\（n）维多面体；闭凸多面体；多项式；对称多面体 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{K.Iwasaki}，《应用学报》。数学。60，第2号，179--197（2000；Zbl 0956.31003） 全文： 内政部