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正特征中的Gel'fond-Fridman定理。 (英语) Zbl 1283.11157号

设\(p\)为素数,\(q:=p^f\)为整数\(f>0\)。让\(\mathbb{F} (_q)((1/T))是字段的完成(mathbb{F} (_q)(T) 对于由\(v_\infty)表示的无限\(1/T)\)-adic赋值,并由\。设\(\mathcal{C}\)是\(\mathbb)的代数闭包的完备{F} (_q)(1/T)\);估值\(v_\infty \)扩展到对\(\mathcal{C}\)的估值,对于所有\(z\in\mathcal{C}\),定义\(\deg(z):=-v_\infty(z)\)。(mathcal{C})上的整个函数(f)由来自(mathcal{C}[[z]]\)的一个元素给出,该元素为所有(z\in\mathcal}C}\)收敛。这种(f)的增长模量由任意(r(in)mathbb)的(M(f,r):{右}_+\).
使用这些符号,本文的主要结果如下:如果(f)是(mathcal{C})上的一个完整函数,则(1):\({r}to{infty}M(f,r)q ^{-r}\<p/(e \log q)和(2):\(f^{(\sigma)}(\mathbb{F} (_q)[T] )\subset\mathbb{F} (_q)[T] \;(\sigma=0,\ldots,p-1)保持不变,则(f)是多项式。此外,(1)中的上界是最可能的。
这个定理必须被视为(mathcal{C})-类似于A.盖尔丰德【Atti Accad.Naz.Lincei,Rend.,VI.Ser.10,569–574(1929;JFM 55.0778.01号)]. 由于对于任何整数(sigma\geqp),(f^{(sigma)}=0),它也是对G.A.弗里德曼【Mat.Sb.,11月,第75号修订(117),417-431(1968年;兹标0179.10801)]. 此外,引用的结果概括了作者的[Acta Arith.115,No.3,287–303(2004;Zbl 1088.11087号)](mathcal{C})-1915年Pólya著名定理的类比。最后要注意的是,沿着相同路线的进一步结果包括Gel'fond-Fridman定理的乘法(mathcal{C})模拟。

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11卢比 代数函数域的算术理论
11T55型 有限域上多项式环的算法理论
30天15 一个复变量整函数的特殊类和增长估计
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