弗朗索瓦·莫纳德;理查德·尼克尔;加布里埃尔·P·帕特南。 X射线变换的有效非参数贝叶斯推断。 (英语) Zbl 1417.62060号 Ann.统计。 47,第2期,1113-1147(2019). 摘要:我们考虑从(f)的广义X射线变换(I{a}(f))的测量值中恢复一个函数(f:M\rightarrow\mathbb{R})的统计逆问题,其中(M)是一个带边界的光滑紧致黎曼流形,它受到加性高斯噪声的破坏。如果(M)等于具有“平面”几何结构的单位圆盘,并且(a=0),则这可以简化为标准Radon变换,但我们的一般设置允许各向异性介质(M),并且可以进一步模拟局部“衰减”效应,这两者在实际成像问题(如SPECT层析成像)中都非常相关。我们研究了一种基于标准高斯过程先验的非参数贝叶斯推理方法。(f)的后验重构对应于具有再生核Hilbert空间范数惩罚的Tikhonov正则化子,它不需要计算前向算子(I{a})的奇异值分解。我们证明了f的一大类一维线性泛函的Bernstein-von Mises定理,它们意味着可信集等基于后验的推断从频率学家的角度来看是有效的和最优的。特别地,我们导出了Tikhonov正则化器的光滑线性泛函的渐近分布,它达到了半参数信息的下界。这些证明依赖于适当函数空间之间“Fisher信息”算子(I{a}^{*}I{a{)的可逆性结果,这是一个依赖于微局部分析技术的独立结果。我们通过在不同环境下的仿真来说明该方法的性能。 引用于29文件 MSC公司: 62G05型 非参数估计 2015年1月62日 贝叶斯推断 6220国集团 非参数推理的渐近性质 第62页,第35页 统计学在物理学中的应用 44甲12 拉东变换 关键词:反问题;伯恩斯坦-冯-米塞斯定理;MAP估算;Tikhonov调节器;高斯先验;Radon变换;半参数效率;\(X \)射线;高斯过程;再生核希尔伯特空间;微观局部分析 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit{F.Monard}等人,Ann.Stat.47,No.2,1113--1147(2019;Zbl 1417.62060) 全文: 内政部 arXiv公司 欧几里得 参考文献: [1] Abramowitz,M.和Stegun,I.A.编辑(1966年)。数学函数手册,包括公式、图表和数学表格。多佛出版社,纽约·兹标0171.38503 [2] Boutet de Monvel,L.(1966年)。《非运营商竞争》(Comportement d’un operateur pseudo-différentiel sur une variétéa bord)。二、。伪泊松。J.分析。数学17 255-304·Zbl 0161.07902号 [3] Boutet de Monvel,L.(1971)。伪微分算子的边界问题。数学学报126 11-51·Zbl 0206.39401号 ·doi:10.1007/BF02392024 [4] Brown,D.A.、Saibaba,A.和Vallélian,S.(2017)。贝叶斯反问题中的低秩独立采样器。ArXiv预印本。可从ArXiv:1609.07180v2获得·Zbl 1401.65040号 [5] Budinger,T.F.、Gullberg,G.T.和Huesman,R.H.(1979年)。发射计算机断层扫描。《从投影重建图像》(G.T.Herman编辑)。应用物理学专题32 147-246。柏林施普林格。 [6] 卡斯蒂略,I.(2014)。关于贝叶斯上确界范数收缩率。统计年鉴42 2058-2091·Zbl 1305.62189号 ·doi:10.1214/14-AOS1253 [7] Castillo,I.(2017)。Pólya树密度的后验分布。亨利·彭加雷·普罗巴布(Henri PoincaréProbab)安·Inst。统计53 2074-2102·Zbl 1384.62156号 ·doi:10.1214/16-AIHP784 [8] Castillo,I.和Nickl,R.(2013)。高斯白噪声中的非参数Bernstein-von Mises定理。统计年鉴41 1999-2028·Zbl 1285.62052号 ·doi:10.1214/13-AOS1133 [9] Castillo,I.和Nickl,R.(2014)。非参数贝叶斯过程的Bernstein-von Mises现象。Ann.Statist.42 1941-1969年·Zbl 1305.62190号 ·doi:10.1214/14-AOS1246 [10] Castillo,I.和Rousseau,J.(2015)。半参数模型中光滑泛函的Bernstein-von Mises定理。《统计年鉴》43 2353-2383·Zbl 1327.62302号 ·doi:10.1214/15-AOS1336 [11] Cavalier,L.(2008)。非参数统计反问题。反向问题24文章ID 034004·Zbl 1137.62323号 ·doi:10.1088/0266-5611/24/3/034004 [12] Cavalier,L.、Golubev,G.K.、Picard,D.和Tsybakov,A.B.(2002年)。Oracle不等式用于反问题。统计年鉴30 843-874·Zbl 1029.62032号 ·doi:10.1214操作系统/1028674843 [13] Chazarain,J.和Piriou,A.(1982年)。线性偏微分方程理论导论。数学及其应用研究14。北荷兰,阿姆斯特丹。翻译自法语·Zbl 0487.35002号 [14] Creager,K.C.(1992)。从相位PKP和PKIPK的差分行程时间看内芯的各向异性。自然356 309-314。 [15] Dairbekov,N.S.、Paternain,G.P.、Stefanov,P.和Uhlmann,G.(2007)。存在磁场时的边界刚性问题。高级数学216 535-609·Zbl 1131.53047号 ·doi:10.1016/j.aim.2007.05.014 [16] Dashti,M.,Law,K.J.H.,Stuart,A.M.和Voss,J.(2013)。贝叶斯非参数反问题中的MAP估计及其一致性。反向问题29文章ID 095017·Zbl 1281.62089号 [17] Dashti,M.和Stuart,A.(2016)。反问题的贝叶斯方法。《不确定性量化手册》(R.Ghanem、D.Higdon和H.Owhadi编辑),柏林斯普林格。 [18] 达德利,R.M.(2002)。真实分析和概率。剑桥高等数学研究74。剑桥大学出版社,剑桥。1989年原版的修订再版·Zbl 1023.60001号 [19] Duvall,T.L.Jr、Jefferies,S.M.、Harvey,J.W.和Pomerantz,M.A.(1993年)。时距太阳地震学。自然362 430-432。 [20] Eskin,G.I.(1981)。椭圆伪微分方程的边值问题。数学专题论文的翻译52。阿默尔。数学。南卡罗来纳州普罗维登斯Soc.,S.Smith译自俄语。 [21] Frigyik,B.、Stefanov,P.和Uhlmann,G.(2008)。一般曲线和权重族的X射线变换。《几何杂志》。分析18 89-108·Zbl 1148.53055号 ·doi:10.1007/s12220-007-9007-6 [22] Ghosal,S.和van der Vaart,A.(2017年)。非参数贝叶斯推断基础。剑桥统计与概率数学系列44。剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 1376.62004号 [23] Giné,E.和Nickl,R.(2016)。无限维统计模型的数学基础。剑桥大学出版社,纽约·Zbl 1358.62014号 [24] Goldenshluger,A.和Pereverzev,S.V.(2000年)。基于间接白噪声观测的希尔伯特尺度线性泛函的自适应估计。普罗巴伯。理论相关领域118 169-186·Zbl 1055.62523号 ·doi:10.1007/s440-000-8013-3 [25] Grubb,G.(2014)。传输和分数阶椭圆伪微分算子的局部和非局部边界条件。分析。PDE7 1649-1682年·Zbl 1317.35310号 ·doi:10.2140/apde.2014.7.1649 [26] Grubb,G.(2015)。域上的分数拉普拉斯算子,Hörmander传输伪微分算子理论的发展。高级数学268 478-528·Zbl 1318.47064号 ·doi:10.1016/j.aim.2014.09.018 [27] Guillemin,V.和Sternberg,S.(1977年)。几何渐近。数学调查14。阿默尔。数学。佛罗里达州普罗维登斯Soc·Zbl 0364.53011号 [28] Helgason,S.(1999)。Radon变换,第二版,数学进展5。Birkhäuser,马萨诸塞州波士顿·Zbl 0932.43011号 [29] Hörmander,L.(1965)。第二章,“经典”伪微分算子的边界问题。普林斯顿国际会计学院讲稿。可在网址:http://www.math.ku.dk/格拉布/LH65.pdf。 [30] Hörmander,L.(1985)。线性偏微分算子的分析。三、 伪微分算子。Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften[数学科学基本原理]274。柏林施普林格·Zbl 0601.35001号 [31] Johnstone,I.M.和Silverman,B.W.(1990)。正电子发射断层扫描和相关反问题中的估计速度。《统计年鉴》18 251-280·Zbl 0699.62043号 ·doi:10.1214/aos/1176347500 [32] Kerkyacharian,G.、Kyriazis,G.、Le Pennec,E.、Petrushev,P.和Picard,D.(2010年)。用基于奇异值分解的针反转带噪Radon变换。申请。计算。哈蒙。分析28 24-45·Zbl 1213.42117号 ·doi:10.1016/j.acha.2009.06.001 [33] Knapik,B.T.、van der Vaart,A.W.和van Zanten,J.H.(2011)。具有高斯先验的贝叶斯反问题。统计年鉴39 2626-2657·Zbl 1232.62079号 ·doi:10.1214/11-AOS920 [34] Kuchment,P.(2014)。氡变换和医学成像。CBMS-NSF应用数学区域会议系列85。宾夕法尼亚州费城SIAM·Zbl 1282.92001号 [35] Louis,A.K.(1984)。正交函数级数展开和Radon变换的零空间。SIAM J.数学。分析15 621-633·Zbl 0533.42018号 ·doi:10.1137/0515047 [36] McLean,W.(2000)。强椭圆系统和边界积分方程。剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 0948.35001号 [37] Monard,F.(2014)。测地X射线变换及其反演的数值实现。SIAM J.成像科学7 1335-1357·Zbl 1296.65186号 ·数字对象标识代码:10.1137/130938657 [38] Muhometov,R.G.(1977年)。二维黎曼度量和积分几何的重建问题。多克。阿卡德。诺克SSSR232 32-35。 [39] Munk,W.和Wunsch,C.(1979年)。《海洋声学层析成像:大规模监测方案》,深海研究26A 123-161。 [40] Natterer,F.(1986)。计算机断层成像的数学。奇切斯特威利·Zbl 0617.92001号 [41] Nickl,R.(2017)。统计反问题的Bernstein-von Mises定理I:薛定谔方程。ArXiv预印本。可在ArXiv网站获取:1707.01764·Zbl 1445.62099号 [42] Nickl,R.和Söhl,J.(2017)。离散观测标量扩散的非参数贝叶斯后收缩率。《统计年鉴》45 1664-1693·Zbl 1411.62087号 ·doi:10.1214/16-AOS1504 [43] Novikov,R.G.(2002)。衰减X射线变换的反演公式。方舟材料40 145-167·Zbl 1036.53056号 ·doi:10.1007/BF02384507 [44] Paternain,G.P.、Salo,M.、Uhlmann,G.和Zhou,H.(2018年)。具有矩阵权重的测地X射线变换。美国数学杂志。出现。可从arXiv:1605.07894获取·Zbl 1440.53083号 [45] Pestov,L.和Uhlmann,G.(2004年)。关于测地X射线变换的范围和反演公式的特征。国际数学。研究编号80 4331-4347·Zbl 1075.44003号 ·doi:10.1155/S1073792804142116 [46] Pestov,L.和Uhlmann,G.(2005)。二维紧致简单黎曼流形是边界距离刚性的。数学年鉴。(2) 161 1093-1110. ·Zbl 1076.53044号 ·doi:10.4007/annals.2005.161.1093 [47] Radon,J.über die Bestimmung Von Funktitionen Durch Ihre Integralwerte Längs Gewisser Mannigfaltigkeiten。Berichteüber die Verhandlungen der Königlich-Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig公司。Mathematisch-Physische Klasse69 262-277·JFM 46.0436.02号 [48] Ray,K.(2013)。具有非共轭先验的贝叶斯反问题。电子。《联邦公报》第7卷第2516-2549页·兹比尔1294.62107 ·doi:10.1214/13-EJS851 [49] Salo,M.和Uhlmann,G.(2011年)。简单曲面上的衰减光线变换。J.微分几何88 161-187·Zbl 1238.53058号 ·doi:10.4310/jdg/1317758872 [50] Sharafutdinov,V.、Skokan,M.和Uhlmann,G.(2005)。张量层析成像中鬼影的规律性。《几何杂志》。分析.15 499-542·doi:10.1007/BF02930983 [51] Sharafutdinov,V.A.(1994年)。张量场的积分几何。乌得勒支VSP·Zbl 0883.53004号 [52] Sharafutdinov,V.A.(2005年)。伪微分算子的几何符号演算。I.【Mat.Tr.7(2)(2004)159-206的翻译;MR2124544]。西伯利亚高级数学15 81-125·Zbl 1081.58016号 [53] Stefanov,P.和Uhlmann,G.(2004)。张量场和边界刚度的X射线变换的稳定性估计。杜克大学数学。期刊123 445-467·Zbl 1058.44003号 ·doi:10.1215/S0012-7094-04-12332-2 [54] Stuart,A.M.(2010年)。反问题:贝叶斯观点。《数字学报》19 451-559·Zbl 1242.65142号 ·doi:10.1017/S0962492910000061 [55] Taylor,M.E.(1996)。偏微分方程。一、基本理论。应用数学科学115。纽约州施普林格·Zbl 0869.35001号 [56] Thorbergsson,G.(1978年)。非紧黎曼流形上的闭测地线。数学。Z.159 249-258号·Zbl 0358.53027号 ·doi:10.1007/BF011214574文件 [57] Trèves,F.(1980)。伪微分和傅里叶积分算子简介。第1卷。伪微分算子。Plenum出版社,纽约·Zbl 0453.47027号 [58] Uhlmann,G.和Vasy,A.(2016)。局部测地射线变换的逆问题。发明。数学205 83-120·Zbl 1350.53098号 ·doi:10.1007/s00222-015-0631-7 [59] van der Vaart,A.W.(1998)。渐进统计。剑桥统计与概率数学系列3。剑桥大学出版社,剑桥·Zbl 0910.62001号 [60] van der Vaart,A.W.和van Zanten,J.H.(2008)。基于高斯过程先验的后验分布收缩率。《统计年鉴》36 1435-1463·Zbl 1141.60018号 ·doi:10.1214/009053607000000613 [61] Višik,M.I.和Èskin,G.I.(1965年)。有界区域中的卷积方程。乌斯佩基Mat.Nauk20 89-152。 [62] Seppecher的FEM_beta包。 此参考列表基于出版商或数字数学图书馆提供的信息。其项与zbMATH标识符进行启发式匹配,可能包含数据转换错误。在某些情况下,zbMATH Open的数据对这些数据进行了补充/增强。这试图尽可能准确地反映原始论文中列出的参考文献,而不要求完整或完全匹配。