朱塞佩·莫兰迪 拓扑学在经典和量子物理中的作用。 （英语） Zbl 0773.57016号 物理课堂讲稿。新系列m：专著. 7. 柏林：斯普林格-弗拉格。xiii，第239页（1992年）。 理论物理学正处于一个蓬勃发展的时期。70年代末，数学家和物理学家之间出现了新的友谊，最终在低维拓扑中取得了令人瞩目的成果。在物理学本身中，拓扑学起到了重要作用，至少从30年代初P.Dirac的磁单极子理论开始，该理论后来被确定为对Hopf纤维及其后代的描述。如今，新概念正在从拓扑学和旧思想中发展而来，这些旧思想已被广泛推广。这些讲座于1990年在中国山西大学物理系举行，通过详细介绍几个涉及拓扑技术的物理主题，反映了这一活动。这本书首先阐述了一些经典代数拓扑，包括同伦群和Hopf分解，最后描述了从3个球体到2个球体的映射的Hopf不变量。这本书的其余部分都是关于物理的。第二章介绍了某些非线性模型。此处相应的字段空间显示为从1、2或3维球体到2维球体的映射空间；拓扑是指从一个球体到一个维度不一定相同的球体的映射空间被其同伦类划分。值得注意的是，这里缺少关于这个主题的最新数学文献，参见例如[C.P.博伊尔和B.M.曼恩、Commun。数学。物理学。115，第4期，571-594（1988；Zbl 0656.58049号)]以及那里的参考资料。第3章讨论了一旦薛定谔量子化在其普适覆盖（余切束）上进行后，在组态空间上构建量子力学的问题。它的解决方案关键在于一组甲板变换。对于三维或更高维欧氏空间中的（N）粒子，该群可归结为字母上的对称群，而对于平面中的（N\）粒子，它相当于字符串上的编织群。而后者又引出了一个粒子概念，称为“任意子”，满足“辫子统计”。它的严格实现是在Chern-Simons物理学中实现的，这是第4章的内容。第5章介绍了光的偏振以及更一般的Berry相位。这里，简明描述的适当几何框架是适当纤维束的微分几何；对于光的偏振，它只是霍普夫束。最后一章以磁场中的电子、量子霍尔效应和相应的Berry相位为主题。在这里，一个特定的物理概念，即超导性，似乎与某个相关束的第一个Chern类密切相关。这本书很难推荐给学生阅读。它的特点可能会造成重大损害，因为学生和年轻的研究人员在什么是严格的数学论点方面被误导了。虽然物理学文献曾经被比作一块必须定期擦除的黑板，但拓扑学中普遍接受了构成正确证明的统一标准，并且正在审查的这类书籍应反映并保持这些标准。在这本书中，数学推理和物理学家的观点之间几乎从来没有一个明确的区别，物理学家的观点对其中包含的数学中哪一个是可靠的产生了不确定性。如果进行得当，推测无疑是非常有益的，但一本有这样标题的书似乎不适合这样做。天真地使用未定义的术语会破坏演示。由于缺乏空间，只能引用几个例子：在第16页上，有人断言2-球面的基本群是微不足道的，其论点是2-球面上的任何环路都可以在适当的赤平投影后收缩到一个点。然而，众所周知，皮亚诺曲线覆盖了整个球体。在第58页上，我们讨论了一对空间（（T，a）的第二个相对同伦群是可交换的当且仅当（a）的基本群是可换的。但这是错误的，一个简单的反例是由环面上非平凡主（S^1）-丛的投影映射的总空间和（T）给出的此地图的映射圆柱体。在第121页上，我们断言空间（Q）的普适覆盖可以分解为基本域，每个域都“同构”，甚至与空间（Q\）不同。所有这些主题在标准代数拓扑教科书中都得到了很好的处理。至于更接近物理学的缺陷，让我们引用以下一点：在第119页及其后，“容许量子力学”（在非简单连通空间上）是通过涉及多值函数和笨拙处理超选扇区的冗长而模糊的讨论来处理的。然而，这是一本关于拓扑和物理的书！因此，多值函数应显示为一个线束的部分，即对应于不等线束的超选择扇区。通常的几何量化方案甚至没有提到，例如[N.伍德豪斯几何量化（1980；Zbl 0458.58003号)]. 如果这是一本很棒的书，我们会读它，然后把它放回书架上。事实上，这本书需要警惕的读者给予相当大的关注。因此，它可能会引发沉思，并成为绝佳的灵感来源。审核人：J.Huebschmann（维伦纽夫·阿斯克） 引用于1审查引用于27文件 MSC公司： 57卢比99 差分拓扑 58Z05个 全球分析在科学中的应用 53摄氏度80 整体微分几何在科学中的应用 78A99型 光学和电磁理论的一般主题 1999年第81季度 量子理论中的一般数学主题和方法 关键词：同伦群;霍普夫纤维化;Hopf不变量;非线性模型;组态空间上的量子力学;万能盖;Chern-Simons物理学;贝里期;纤维束;磁场中的电子;量子霍尔效应;超导电性;Chern类 引文：Zbl 0656.58049号;Zbl 0458.58003号 PDF格式BibTeX公司 XML格式引用 \textit｛G.Morandi｝，拓扑学在经典和量子物理学中的作用。柏林：Springer-Verlag（1992；Zbl 0773.57016）