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Seyed N.海恩斯。;安德鲁·休尼斯（Andrew J.Heunis）。

关于奇异扩散的泊松方程。 （英语） Zbl 1075.60102号

随机性 77，第2期，155-189（2005）.
本文的目标是确定泊松方程解的存在性（经典意义上）和唯一性：\[u（x）=h（x），\标签{1}\]对于具有非全秩协方差的奇异扩散\（\｛\xi（t）\｝\）的\（x\ in｛\mathbb R｝^d\）。也就是说，\（A\）是线性二阶微分算子\[u（x）=\frac｛1｝｛2｝\sum_｛i，j=1｝^d（\西格玛\，\，^t\西格玛）^｛ij｝（x）\frac｛\partial ^2 u｝｛\partial x_i\ partial x_j｝（x）+\sum_｛i=1｝^d b^i（x）\frac｛\partial u｝｛\partial x_i｝（x），\ quad x\ in｛\mathbb R｝^d，\]对于Itó随机微分方程（SDE）给出的（d）维扩散（xi（t））\[d（xi（t）=b（xi\]在完全概率空间（（Omega，{mathcal F}，P））上具有（N）维标准Wiener过程。特别地，作者放弃了严格的非退化和有界条件，处理了矩阵（σ（x））对于某些（x）（{mathbbR}^d）可以秩亏的奇异情况。此外，在确定泊松方程解的存在性之后，他们使用这一点来表征由重标度奇异扩散引起的SDE扰动引起的时间尺度问题中的极限，这是由R.利普策和J.斯托亚诺夫[随机随机报告。32，第3/4号，145-163（1990年；Zbl 0729.60047号)].
更准确地说，他们假设映射（b^k:{mathbbR}^d到{mathbb R}）和映射（sigma^k，n}:{matHBbR}^d到}）是（C^2）-函数，对于每个映射（k=1,2，dots，d）和（n=1,2；并且还假设，对于某些常数（[3/2，infty）和一些对称严格正定矩阵（Q\in{mathbbR}^{d\timesd}），不等式\[\mu_1:=\sup_{x\in{\mathbb R}^d}\Lambda_{\max}\{Q J（x）+\，\，^tJ（x\]保持，其中，（J（x）=partial_xb（x）是SDE中漂移项（b（x\[\mu_0:=\left\｛\sum_｛i=1｝^d\sup_｛x\ in｛\mathbb R｝^d｝\left\ | \frac｛\partial｝｛\partial x_i｝\sigma（x）\ right\ | ^2 \ right\｝^｛1/2｝。\]值得注意的是，这些假设是基于SDE中的二阶光滑性（b）和（sigma），以及漂移雅可比矩阵的特征值，这可以确保SDE定义的马尔可夫过程具有唯一的不变概率测度，并且对于以（上划线{m}）为中心的二阶光滑映射（h:{mathbbR}^d到{mathbb R}），泊松方程（在经典意义上）是可解的。这些结果用于刻画过程（Z^{varepsilon}（t）}）（由（Z^{varepsilon}))在一个出现如下的多时间尺度问题中：设（w（t）为（m）维标准Wiener过程，独立于（β（t）），并通过设置（y^{varepsilon}（t）：=xi（t/varepsilen））和\）\（\varepsilon^{1/2}w（t/\varepsilon）\）对于\（0<\varepsilon<1\），设\（X^{\varepsion}（t）\）和\（上划线{X}^{\varepsilon}（t）\）是SDE的解：\[d X^{\varepsilon}（t）=F\]（X^{varepsilon}（0）=X_0\在{\mathbb R}^{d'}\）中，并且\[上划线{X}^{varepsilon}（t）=上划线{F}\]分别使用\（上划线{X}^{varepsilon}（0）=X_0\）。这里，漂移由（上划线{F}（x）：=int_{mathbbR}^d}F（x，y）上划线{m}（dy））为（x）in{mathbb R}^d’}）定义，并且假设（F）和（G）满足条件，以确保这些SDE具有存在性和路径唯一性。
本文的一个显著特点如下。Liptser和Stoyanov（loc.cit.）使用平稳混合过程的结果来确定重标度过程的渐近性。由于在本文中（xi（t））是一个缺秩扩散（sigma（x）），它通常不具有混合性质，因此Liptser-Stoyanov方法不适用于这种情况。因此，作者找到了另一种使用泊松方程（1）可解性的方法。有关其他相关工作，请参见例如。A.J.海恩斯【随机过程应用104，57–80（2003）】。
审核人：Isamu Dôku（埼玉）

引用于5文件

MSC公司：

60J60型 扩散过程
60J45型 概率势理论
60华氏30 随机分析的应用（PDE等）
35J15型 二阶椭圆方程

关键词：

多时间尺度;雅可比矩阵;不变性原理

引文：

兹比尔0729.60047
PDF格式BibTeX公司 XML格式引用
\textit{S.N.Heunis}和\textit{A.J.Heunis}，《随机学》77，第2期，155--189（2005；Zbl 1075.60102）
全文： 内政部

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